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lunes, 1 de junio de 2009

Los Juegos Matemàticos





Los Juegos en la Matemàtica


Artículo "juegos matemáticos en la enseñanza" escrito por el profesor español Miguel de Guzmán de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense.
El artículo está publicado en:
"Actas de las IV Jornadas sobre Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas Santa Cruz de Tenerife, 10-14 Septiembre 1984"

Matematicas y juegos.

".¿Dónde termina el juego y dónde comienza la matemática seria? Una pregunta capciosa que admite múltiples respuestas. Para muchos de los que ven la matemática desde fuera, ésta mortalmente aburrida, nada tiene que ver con el juego. En cambio, para los más de entre los matemáticos, la matemática nunca deja totalmente de ser un juego, aunque además de ello pueda ser otras muchas cosas.
El juego bueno, el que no depende de la fuerza o maña físicas, el juego que tiene bien definidas sus reglas y que posee cierta riqueza de movimientos, suele prestarse muy frecuentemente a un tipo de análisis intelectual cuyas características son muy semejantes a las que presenta el desarrollo matemático. Las diferentes partes de la matemática tienen sus piezas, los objetos de los que se ocupa, bien determinados en su comportamiento mutuo a través de las definiciones de la teoría. Las reglas válidas de manejo de estas piezas son dadas por sus definiciones y por todos los procedimientos de razonamiento admitidos como válidos en el campo. Cuando la teoría es elemental, estos no son muchos ni muy complicados y se adquieren bien pronto, lo cual no quiere decir que el juego sea trivial. Elemental quiere decir cerca de los elementos iniciales y no necesariamente simple. Existen problemas elementales desproporcionadamente complicados con respecto a su enunciado. Un ejemplo lo constituye el problema de averiguar el mínimo de las figuras en las que una aguja unitaria puede ser invertida en el plano por movimientos continuos. Cuando la teoría no es elemental es generalmente porque las reglas usuales del juego se han desarrollado extraordinariamente en número y en complejidad y es necesario un intenso esfuerzo para hacerse con ellas y emplearlas adecuadamente. Son herramientas muy poderosas que se han ido elaborando, cada vez más sofisticadas, a lo largo de los siglos. Tal es, por ejemplo, la teoría de la medida e integral de Lebesgue en el análisis superior.
La matemática así concebida es un verdadero juego que presenta el mismo tipo de estímulos y de actividad que se da en el resto de los juegos intelectuales. Uno aprende las reglas, estudia las jugadas fundamentales, experimentando en partidas sencillas, observa a fondo las partidas de los grandes jugadores, sus mejores teoremas, tratando de asimilar sus procedimientos para usarlos en condiciones parecidas, trata finalmente de participar más activamente enfrentándose a los problemas nuevos que surgen constantemente debido a la riqueza del juego, o a los problemas viejos aún abiertos esperando que alguna idea feliz le lleve a ensamblar de modo original y útil herramientas ya existentes o a crear alguna herramienta nueva que conduzca a la solución del problema.
Por esto no es de extrañar en absoluto que muchos de los grandes matemáticos de todos los tiempos hayan sido agudos observadores de los juegos, participando muy activamente en ellos, y que muchas de sus elucubraciones, precisamente por ese entreveramiento peculiar de juego y matemática, que a veces los hace indiscernibles, hayan dado lugar a nuevos campos y modos de pensar en lo que hoy consideramos matemática profundamente seria."

Utilizacion de los juegos en la enseñanza.




".¿Se pueden utilizar los juegos matemáticos con provecho en la enseñanza? ¿De qué forma? ¿Qué juegos? ¿Qué objetivos pueden conseguirse a través de los juegos?
Los juegos tienen un carácter fundamental de pasatiempo y diversión. Para eso se han hecho y ese es el cometido básico que desempeñan. Por eso es natural que haya mucho receloso de su empleo en la enseñanza. "El alumno, -piensa-, se queda con el pasatiempo que, eso sí, le puede comer el coco totalmente y se olvida de todo lo demás. Para lo que se pretende, es una miserable pérdida de tiempo".
A mi parecer, en cambio, ese mismo elemento de pasatiempo y diversión que el juego tiene esencialmente, debería ser un motivo más para utilizarlo generosamente. ¿Por qué no paliar la mortal seriedad de muchas de nuestras clases con una sonrisa? Si cada día ofreciésemos a nuestros alumnos, junto con el rollo cotidiano, un elemento de diversión, incluso aunque no tuviese nada que ver con el contenido de nuestra enseñanza, el conjunto de nuestra clase y de nuestras mismas relaciones personales con nuestros alumnos variarían favorablemente.
Pero es que además sucede que, por algunas de las razones apuntadas antes, relativas a la semejanza de estructura del juego mismo y de la matemática, avaladas por la historia misma de la matemática y de los juegos, y por otras razones que señalaré a continuación, el juego bien escogido y bien explotado puede ser un elemento auxiliar de gran eficacia para lograr algunos de los objetivos de nuestra enseñanza más eficazmente.
En mi opinión, el objetivo primordial de la enseñanza básica y media no consiste en embutir en la mente del niño un amasijo de información que, pensamos, le va a ser muy necesaria como ciudadano en nuestra sociedad. El objetivo fundamental consiste en ayudarle a desarrollar su mente y sus potencialidades intelectuales, sensitivas, afectivas, físicas, de modo armonioso. Y para ello nuestro instrumento principal debe consistir en el estímulo de su propia acción, colocándole en situaciones que fomenten el ejercicio de aquellas actividades que mejor pueden conducir a la adquisición de las actitudes básicas más características que se pretende transmitir con el cultivo de cada materia.
Por la semejanza de estructura entre el juego y la matemática, es claro que existen muchos tipos de actividad y muchas actitudes fundamentales comunes que pueden ejercitarse escogiendo juegos adecuados tan bien o mejor que escogiendo contenidos matemáticos de apariencia más seria, en muchos casos con claras ventajas de tipo psicológico y motivacional para el juego sobre los contenidos propiamente matemáticos.
Es un hecho frecuente que muchas personas que se declaran incapaces de toda la vida para la matemática, disfrutan intensamente con puzzles y juegos cuya estructura en poco difiere de la matemática. Existen en ellas claros bloqueos psicológicos que nublan su mente en cuanto se percatan de que una cuestión que se les propone, mucho más sencilla tal vez que el juego que practican, tiene que ver con el teorema de Pitágoras. Estos bloqueos son causados muy frecuentemente en la niñez, donde a absurdas preguntas iniciales totalmente inmotivadas seguían respuestas aparentemente inconexas que hacían de la matemática una madeja inextricable cada vez más absurda y complicada.
Bien se puede pensar que muchas de estas personas, adecuadamente motivadas desde un principio, tal vez a través de esos mismos elementos lúdicos que están descargados del peso psicológico y de la seriedad temible de la matemática oficial, se mostrarían, ante la ciencia en general y ante la matemática misma en particular, tan inteligentes como corresponde al éxito de su actividad en otros campos diferentes.
Es claro que no todos los juegos que se encuentran en los libros de recreaciones matemáticas se prestan igualmente al aprovechamiento didáctico. Muchos son meras charadas y acertijos ingeniosos. Muchos otros se basan en la confusión intencionada del enunciado al modo de los oráculos sibilinos y dejan al final una impresión de mera tomadura de pelo. En otros casos la solución de la impresión de haber llegado por revelación divina que no cabe fácilmente en un esquema de pensamiento que pueda conducir a un método. Pero, como veremos, hay juegos que, de forma natural, resultan asequibles a una manipulación muy semejante a la que se lleva a cabo en la resolución sistemática de problemas matemáticos y que encierran lecciones profundamente valiosas.
Es mi intención presentar a continuación dos esquemas de posible utilización de los juegos en la enseñanza. El primero consiste en un ensayo de desarrollo heurístico a través de los juegos. Trataré de poner de manifiesto cómo lo que, a mi parecer, constituye la savia de las matemáticas y la manera más efectiva de acercamiento a ellas desde el punto de vista didáctico, la resolución de problemas, puede aprovecharse de la actividad con juegos bien escogidos. El segundo esquema presenta, a través de un listado de temas, actitudes y actividades matemáticas, cómo los juegos pueden utilizarse para motivar, enriquecer e iluminar la ocupación con ellas.
Lo que sobre todo deberíamos proporcionar a nuestros alumnos a través de las matemáticas es la posibilidad de hacerse con hábitos de pensamiento adecuados para la resolución de problemas, matemáticos y no matemáticos. ¿De qué les puede servir hacer un hueco en su mente en el que quepan unos cuantos teoremas y propiedades relativas a entes con poco significado si luego van a dejarlos allí herméticamente emparedados? A la resolución de problemas se le ha llamado, con razón el corazón de las matemáticas, pues ahí es donde se puede adquirir el verdadero sabor que ha atraído y atrae a los matemáticos de todas las épocas. Del enfrentamiento con problemas adecuados es de donde pueden resultar motivaciones, actitudes, hábitos, ideas para el desarrollo de herramientas apropiadas, en una palabra, la vida propia de las matemáticas. Muchos de estos elementos pueden adquirirse igualmente en el enfrentamiento con los problemas que constituyen los juegos matemáticos.
Lo que sigue viene a ser, en sus líneas generales, un calco de las directrices fundamentales de la famosa obra de Polya ¿Cómo Resolverlo?, ilustradas aquí con algunos juegos que a mí, espigando en la literatura, me han parecido adecuados. El objetivo de este esquema consiste simplemente en tratar de poner bien patente la semejanza de actitudes que se dan en la resolución de un puzzle o un juego y en la de un genuino problema matemático, y cómo, efectivamente, muchos de los hábitos adecuados para la tarea matemática podría no adquirirlos igualmente bien divirtiéndose con ejemplos escogidos de juegos. La elaboración de un curso completo de heurística en esta dirección sería un trabajo bien interesante que requeriría una inmersión a fondo en la abundante literatura existente a fin de analizar los juegos más apropiados para cada aspecto y para comprobar el rendimiento efectivo de esta actividad. Trataré en lo posible aquí de presentar ejemplos bien conocidos a fin de evitar introducciones que nos llevarían mucho tiempo."




Sitios Web donde buscar Juegos Matemàticos



http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar2008/educontinua/mate/lugares.htm

http://www.xtec.es/~jcorder1/entreten.htm

http://divulgamat.ehu.es/weborriak/recursosinternet/Juegos/JuegosNumericos1.asp

http://www.mazeworks.com/home.htm

http://www.mathpuzzle.com/

http://www.usaelcoco.com/

http://www.vedoque.com/juegos/juego.php?j=escondite

http://www.chicomania.com/Aprende/matematica/NumFalta/NumFalta.asp

http://roble.pntic.mec.es/~msanto1/ortografia/numrom.htm

La Geometria en la Historia










HISTORIA DE LA GEOMETRÍA






La historia del origen de la Geometría es muy similar a la de la Aritmética, siendo sus conceptos más antiguos consecuencia de las actividades prácticas. Los primeros hombres llegaron a formas geométricas a partir de la observación de la naturaleza.El sabio griego Eudemo de Rodas, atribuyó a los egipcios el descubrimiento de la geometría, ya que, según él, necesitaban medir constantemente sus tierras debido a que las inundaciones del Nilo borraban continuamente sus fronteras. Recordemos que, precisamente, la palabra geometría significa medida de tierras.

Los egipcios se centraron principalmente en el cálculo de áreas y volúmenes, encontrando, por ejemplo, para el área del círculo un valor aproximado de ( de 3'1605. Sin embargo el desarrollo geométrico adolece de falta de teoremas y demostraciones formales. También encontramos rudimentos de trigonometría y nociones básicas de semejanza de triángulos.

También se tienen nociones geométricas en la civilización mesopotámica, constituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: área del cuadrado, del círculo (con una no muy buena aproximación de (=3), volúmenes de determinados cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman que esta civilización conocía el teorema de Pitágoras aplicado a problemas particulares, aunque no, obviamente, como principio general.

No se puede decir que la geometría fuese el punto fuerte de las culturas china e india, limitándose principalmente a la resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos. También hay quien afirma que estas dos civilizaciones llegaron a enunciados de algunos casos particulares del teorema de Pitágoras, e incluso que desarrollaron algunas ideas sobre la demostración de este teorema.

En los matemáticos de la cultura helénica los problemas prácticos relacionados con las necesidades de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas continuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas poco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matemáticas que obtuvo la denominación de "logística". A la logística fueron atribuidas: las operaciones con números enteros, la extracción numérica de raíces, el cálculo con la ayuda de dispositivos auxiliares, cálculo con fracciones, resolución numérica de problemas que conducen a ecuaciones de 1er y 2º grado, problemas prácticos de cálculo y constructivos de la arquitectura, geometría, agrimensura, etc...
Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitágoras se advierte un proceso de recopilación de hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. Junto a la demostración geométrica del teorema de Pitágoras fue encontrado el método de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de números "pitagóricos", esto es, ternas de números que satisfacen la ecuación a2+b2=c2.
En este tiempo transcurrieron la abstracción y sistematización de las informaciones geométricas. En los trabajos geométricos se introdujeron y perfeccionaron los métodos de demostración geométrica. Se consideraron, en particular: el teorema de Pitágoras, los problemas sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo, la cuadratura de una serie de áreas (en particular las acotadas por líneas curvas).
.Paralelamente, al ampliarse el número de magnitudes medibles, debido a la aparición de los números irracionales, se originó una reformulación de la geometría, dando lugar al álgebra geométrica. Esta nueva rama incluía entre otros conceptos el método de anexión de áreas, el conjunto de proposiciones geométricas que interpretaban las cantidades algebraicas, división áurea, expresión de la arista de un poliedro regular a través del diámetro de la circunferencia circunscrita. Sin embargo, el álgebra geométrica estaba limitada a objetos de dimensión no mayor que dos, siendo inaccesibles los problemas que conducían a ecuaciones de tercer grado o superiores, es decir, se hacían imposibles los problemas que no admitieran solución mediante regla y compás. La historia sobre la resolución de los tres problemas geométricos clásicos (sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo) está llena de anécdotas, pero lo cierto es que como consecuencia de ellos surgieron, por ejemplo, las secciones cónicas, cálculo aproximado del número pi, el método de exhaución como predecesor del cálculo de límites o la introducción de curvas trascendentes.
Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad condicionó la necesidad de creación de una teoría general de las relaciones, teoría cuyo fundamento inicial lo constituyó el algoritmo de Euclides.
Las primeras teorías matemáticas que se abstrajeron de los problemas concretos o de un conjunto de problemas de un mismo tipo, crearon las condiciones necesarias y suficientes para el reconocimiento de la autonomía y especificidad de las matemáticas.
El carácter abstracto del objeto de las matemáticas y los métodos de demostración matemática establecidos, fueron las principales causas para que esta ciencia se comenzara a exponer como una ciencia deductiva, que a partir de unos axiomas, presenta una sucesión lógica de teoremas. Las obras en las cuales, en aquella época se exponían los primeros sistemas matemáticos de denominaban "Elementos".
Se encuentran elementos pertenecientes a muchos autores, sin embargo todos ellos han quedado relegados a un segundo plano tras la obra matematica más impresionante de la historia: Los Elementos de Euclides. "Los Elementos", como denominaremos a esta obra a partir de ahora, están constituidos por trece libros, cada uno de los cuales consta de una sucesión de teoremas. A veces se añaden otros dos, los libros 14 y 15 que pertenecen a otros autores pero por su contenido, están próximos al último libro de Euclides.
En "Los Elementos" de Euclides se recogen una serie de axiomas o postulados que sirvieron de base para el posterior desarrollo de la geometría. Es de especial interés, por la controversia que originó en épocas posteriores el quinto axioma, denominado "el de las paralelas", según el cual dos rectas paralelas no se cortan nunca. Durante siglos se asumió este axioma como irrebatible, hasta que en el siglo XIX surgieron las llamadas geometrías no euclídeas, que rebatieron este postulado.
Con posterioridad a Euclides y Arquímedes, las matemáticas cambiaron fuertemente, tanto en su forma como en su contenido, haciendo el proceso de formación de nuevas teorías más pausado, hasta llegar a interrumpirse.
Entre las nuevas teorías desarrolladas ocupa el primer lugar la teoría de las secciones cónicas, que surgió de las limitaciones del álgebra geométrica. El interés hacia las secciones cónicas creció a medida que aumentaban la cantidad de problemas resueltos con su ayuda. Sin duda, la obra más completa, general y sistemática de las secciones cónicas se debe a Apolonio de Perga.
En la época del dominio romano destacan algunos recetarios en forma de reglas que permitían el cálculo de algunas áreas y volúmenes; y en especial la conocida fórmula de Herón para calcular el área del triángulo conocidos los tres lados.

Durante el primer siglo del Imperio Musulmán no se produjo ningún desarrollo científico, ya que los árabes, no habían conseguido el impulso intelectual necesario, mientras que el interés por el saber en el resto del mundo, había desaparecido casi completamente. Fue a partir de la segunda mitad del siglo VIII, cuando comenzó el desenfrenado proceso de traducir al árabe todas las obras griegas conocidas, fundándose escuelas por todo el Imperio.
Destacaremos como avance anecdótico, pero no por ello carente de valor, la obtención del número pi con 17 cifras exactas mediante polígonos inscritos y circunscritos en la circinferencia realizada por Kashi (s. XV). Después de más de 150 años, en 1593, en Europa, Viète encontró sólo nueve cifras exactas. Hubo que esperar a fines del siglo XVI y comienzos del XVII para repetir el cálculo de Kashi.
El rasgo característico más importante de las matemáticas árabes fue la formación de la trigonometría. En relación con los problemas de astronomía, confeccionaron tablas de las funciones trigonométricas con gran frecuencia y alto grado de exactitud, tanto en trigonometría plana como esférica.
Entre las obras geométricas destacan las de Omar Khayyam (s. XVI) y Nasir Edin (s. XIII), directamente influenciadas por las obras clásicas, pero a las que contribuyeron con distintas generalizaciones y estudios críticos, como los relativos al axioma euclideano del paralelismo, que pueden considerarse como estudios precursores de la geometría no euclideana.




En el continente europeo, las matemáticas no tienen un origen tan antiguo como en muchos países del Lejano y Medio Oriente, alcanzando sólo éxitos notorios en la época del medievo desarrollado y especialmente en el Renacimiento.
Podemos considerar la obra de Fibonacci "Practica Geometriae" como el punto de arranque de la geometría renacentista. Esta obra está dedicada a resolver determinados problemas geométricos, especialmente medida de áreas de polígonos y volúmenes de cuerpos.
Otro contemporáneo, aunque no tan excepcionalmente dotado fue Jordano Nemorarius (1237-?) a quien debemos la primera formulación correcta del problema del plano inclinado.
El profesor parisino Nicole Oresmes (1328-1382) llegó a utilizar en una de sus obras coordenadas rectangulares, aunque de forma rudimentaria, para la representación gráfica de ciertos fenómenos físicos.
Ya en el siglo XV, época de las grandes navegaciones, la trigonometría fue separada de la astronomía, alzándose como ciencia independiente de la mano de Regiomontano (1436-1474), que trató de una manera sistemática todos los problemas sobre la determinación de triángulos planos y esféricos. Asimismo en esta obra se establece un notable cambio desde el álgebra literal al álgebra simbólica.
Fue François Viète (1540-1603) quien dio un sistema único de símbolos algebraicos consecuentemente organizado, estableciendo en todo momento, una fuerte conexión entre los trabajos trigonométricos y algebraicos, de forma que de igual manera que se le considera el creador del álgebra lineal, se le podría considerar como uno de los padres del enfoque analítico de la trigonometría, esto es, la goniometría.
Para hacer más fáciles los cálculos, los matemáticos desarrollaron ciertos procedimientos en los que, el papel fundamental lo jugaban determinadas relaciones trigonométricas, lo que llevó a la confección de numerosas tablas trigonométricas. En la elaboración de tablas trabajaron, por ejemplo, Copérnico (1473-1543) y Kepler (1571,1630). Semejantes métodos se utilizaban tan frecuentemente que recibieron el nombre de "prostaferéticos". Ellos fueron utilizados por los matemáticos de Oriente Medio, Viète, Tycho Brahe, Wittich, Bürgi y muchos otros. Estos métodos siguieron utilizándose incluso después de la invención de los logaritmos a comienzos del siglo XVII, aunque sus fundamentos, basados en la comparación entre progresiones aritméticas y geométricas, comenzaron a fraguarse mucho antes.
Durante el siglo XVII surgieron casi todas las disciplinas matemáticas, produciéndose en lo que a la geometría se refiere el nacimiento de la geometría analítica.
Sin duda los dos grandes en esta materia y época fueron René Descartes (1596-1650) y Pierrede Fermat (1601-1655).
La última parte de la famosa obra de Descartes "Discurso del Método" denominada "Géometrie", detalla en su comienzo, instrucciones geométricas para resolver ecuaciones cuadráticas, centrándose seguidamente en la aplicación del álgebra a ciertos problemas geométricos. Analiza también curvas de distintos órdenes, para terminar en el tercer y último libro que compone la obra, con la construcción de la teoría general de ecuaciones, llegando a la conclusión de que el número de raíces de una ecuación es igual al grado de la misma, aunque no pudo demostrarlo. Prácticamente la totalidad de la Géometrie está dedicada a la interrelación entre el álgebra y la geometría con ayuda del sistema de coordenadas.
Simultáneamente con Descartes, Pierre de Fermat desarrolló un sistema análogo al de aquél. Las ideas de la geometría analítica, esto es, la introducción de coordenadas rectangulares y la aplicación a la geometría de los métodos algebraicos, se concentran en una pequeña obra: "introducción a la teoría de los lugares planos y espaciales". Aquellos lugares geométricos representados por rectas o circunferencias se denominaban planos y los representados por cónicas, especiales. Fermat abordó la tarea de reconstruir los "Lugares Planos" de Apolonio, describiendo alrededor de 1636, el principio fundamental de la geometría analítica: "siempre que en una ecuación final aparezcan dos incógnitas, tenemos un lugar geométrico, al describir el extremo de uno de ellos una línea, recta o curva". Utilizando la notación de Viète, representó en primer lugar la ecuación Dx=B, esto es, una recta. Posteriormente identificó las expresiones xy=k2; a2+x2=ky; x2+y2+2ax+2by=c2; a2-x2=ky2 con la hipérbola, parábola circunferencia y elipse respectivamente. Para el caso de ecuaciones cuadráticas más generales, en las que aparecen varios términos de segundo grado, aplicó rotaciones de los ejes con objeto de reducirlas a los términos anteriores.
La extensión de la geometría analítica al estudio de los lugares geométricos espaciales, la realizó por la vía del estudio de la intersección de las superficies espaciales por planos. Sin embargo, las coordenadas espaciales también en él están ausentes y la geometría analítica del espacio quedó sin culminar.
Lo que sí está totalmente demostrado, es que la introducción del método de coordenadas deba atribuirse a Fermat y no a Descartes, sin embargo su obra no ejerció tanta influencia como la Géometrie de Descartes, debido a la tardanza de su edición y al engorroso lenguaje algebraico utilizado.
El desarrollo posterior de la geometría analítica, mostró que las ideas de Descartes sobre la unificación del álgebra y geometría no pudo realizarse sino que siguieron un camino separado aunque relacionado.
El surgimiento de la geometría analítica, aligeró sustancialmente la formación del análisis infinitesimal y se convirtió en un elemento imprescindible para la construcción de la mecánica de Newton, Lagrange y Euler, significanda la aparición de las posibilidades para la creación del análisis de variables.
Ya en el siglo XVIII se completó el conjunto de las disciplinas geométricas y, excluyendo sólo las geometrías no euclideanas y la apenas iniciada geometría analítica, prácticamente todas las ramas clásicas de la geometría, se formaron en este siglo. Así además de la consolidación de la geometría analítica, surgieron la geometría diferencial, descriptiva y proyectiva, así como numerosos trabajos sobre los fundamentos de la geometría. Entre los diferentes problemas y métodos de la geometría, tuvieron gran significado las aplicaciones geométricas del cálculo infinitesimal. De ellas surgió y se desarrolló la geometría diferencial, la ciencia que ocupó durante el siglo XVIII el lugar central en al sistema de las disciplinas geométricas. Estudiemos por separado cada una de estas ramas:




Geometría Analítica:








Bajo esta denominación se considera aquella parte de la geometría donde se estudian las figuras y transformaciones geométricas dadas por ecuaciones algebraicas. Las puertas a esta rama fueron abiertas, ya en el siglo XVII por Descartes y Fermat, pero sólo incluían problemas planos. Hubo de ser Newton quien en 1704 diera un paso importante al publicar la obra, "Enumeración de las curvas de tercer orden", clasificando las curvas según el número posible de puntos de intersección con una recta, obteniendo un total de 72 tipos de curvas, que se podían representar por ecuaciones de cuatro tipos. Si designamos ax3+bx2+cx+d=A, entonces las soluciones indicadas serán: xy2+ey=A ; xy=A ; y2=A ; y=A. Sin embargo, lo verdaderamente importante de esta obra fue el descubrimiento de las nuevas posibilidades del método de coordenadas, definiendo los signos de las funciones en los cuatro cuadrantes.
Con posterioridad a Newton, las curvas de tercer orden fueron estudiadas por Stirling, Maclaurin, Nicolle, Maupertius, Braikenridge, Steiner, Salmon, Silvestre, Shall, Clebsch y otros.
Fue Euler quien, en 1748, sistematizó la geometría analítica de una manera formal. En primer lugar expuso el sistema de la geometría analítica en el plano, introduciendo además de las coordenadas rectangulares en el espacio, las oblicuas y polares. En segundo lugar, estudió las transformaciones de los sistemas de coordenadas. También clasificó las curvas según el grado de sus ecuaciones, estudiando sus propiedades generales. En otros apartados de sus obras trató las secciones cónicas, las formas canónicas de las ecuaciones de segundo grado, las ramas infinitas y asintóticas de las secciones cónicas y clasificó las curvas de tercer y cuarto orden, demostrando la inexactitud de la clasificación newtoniana. También estudió las tangentes, problemas de curvaturas, diámetros y simetrías, semejanzas y propiedades afines, intersección de curvas, composición de ecuaciones de curvas complejas, curvas trascendentes y la resolución general de ecuaciones trigonométricas. Todo estos aspectos se recogen en el segundo tomo de la obra "Introducción al análisis..." que Euler dedicó exclusivamente a la geometría analítica.
En la segunda mitad del siglo se introdujeron sólo mejoras parciales, pues en lo fundamental, la geometría analítica ya estaba formada. Destacaremos entre otros los nombres de G. Monge, Lacroix y Menier.





Geometría diferencial:








Esta disciplina matemática se encarga del estudio de los objetos geométricos, o sea, las curvas, superficies etc... Su singularidad consiste en que partiendo de la geometría analítica utiliza métodos del cálculo diferencial.
A comienzos de siglo ya habían sido estudiados muchos fenómenos de las curvas planas por medio del análisis infinitesimal, para pasar posteriormente a estudiar las curvas espaciales y las superficies. Este traspaso de los métodos de la geometría bidimensional al caso tridimensional fue realizado por Clairaut. Sin embargo, su obra fue eclipsada, como casi todo en esta época, por los trabajos de Euler.
El primer logro de Euler en este terreno, fue la obtención de la ecuación diferencial de las líneas geodésicas sobre una superficie, desarrollando a continuación una completa teoría de superficies, introduciendo entre otros el concepto de superficie desarrollable.
A finales de siglo, es desarrollo de esta rama entró en un ligero declive, debido principalmente a la pesadez y complejidad del aparato matemático.
Geometría descriptiva y proyectiva: Los métodos de la geometría descriptiva surgieron en el dominio de las aplicaciones técnicas de la matemática y su formación como ciencia matemática especial, se culminó en los trabjos de Monge, cuya obra en este terreno quedó plasmada en el texto "Géometrie descriptive". En la obra se aclara, en primer lugar, el método y objeto de la geometría descriptiva, prosiguiendo a continuación, con instrucciones sobre planos tangentes y normales a superficies curvas. Analiza en capítulos posteriores la intersección de superficies curvas y la curvatura de líneas y superficies.
El perfeccionamiento de carácter particular y la elaboración de diferentes métodos de proyección contituyeron el contenido fundamental de los trabjos sobre geometría proyectiva en lo sucesivo. La idea del estudio de las propiedades proyectivas de los objetos geométricos, surgió como un nuevo enfoque que simplificara la teoría de las secciones cónicas. Las obras de Desargues y Pascal resuelven este problema y sirven de base a la nueva geometría.
Como acabamos de ver la geometría hacia comienzos del siglo XIX representaba ya un amplio complejo de disciplinas surgidas del análisis y generalizaciones de los datos sobre las formas espaciales de los cuerpos. Junto a las partes elementales, se incluyeron en la geometría casi todas aquellas partes que la conforman actualmente.
La geometría analítica realizó un gran camino de desarrollo y determinó su lugar como parte de la geometría que estudia las figuras y transformaciones dadas por ecuaciones algebraicas con ayuda del método de coordenadas utilizando los métodos del álgebra.
La geometría diferencial se caracterizó por la utilización de los conceptos y métodos del cálculo diferencial, lo que conllevó relaciones estables con el análisis matemático y con numerosos problemas aplicados.
Una de las características principales de la geometría que se desarrolló durante la segunda mitad del siglo XIX, fue el entusiasmo con que los matemáticos estudiaron una gran variedad de transformaciones. De ellas, las que se hicieron más populares fueron las que constituyen el grupo de transformaciones que definen la denominada geometría proyectiva. Los métodos aparentemente detenidos en su desarrollo desde la época de Desargues y Pascal, de estudio de las propiedades de las figuras invariantes respecto a la proyección, se conformaron en los años 20 del siglo XIX en una nueva rama de la geometría: la geometría proyectiva, merced sobre todo a los trabajos de J. Poncelet.
Otro aspecto esencial durante este siglo fue el desarrollo de las geometrías no euclideanas. Podríamos considerar fundador de esta geometría al matemático ruso Nicolai Ivanovich Lobachevski (1792-1856). Su obra mostraba que era necesario revisar los conceptos fundamentales que se admitían sobre la naturaleza de la matemática, pero ante el rechazo de sus contemporáneos tuvo que desarrollar sus ideas en solitario aislamiento.
El punto de partida de las investigaciones de Lobachevski sobre geometría no euclideana fue el axioma de las paralelas de Euclides, sin demostración durante siglos. Lobachevski, que inicialmente intentó demostrar dicho axioma, rápidamente se dio cuenta que ello era imposible, sustituyendo dicho axioma por su negación: a través de un punto no contenido en una recta se puede trazar más de una paralela que yace en el mismo plano que la primera.
El año 1826 puede considerarse como la fecha de nacimiento de esta geometría no euclideana o lobachevskiana, siendo en ese año cuando el autor presentó muchos de los trabajos que avalaban la nueva teoría.
En 1829 Janos Bolyai (1802-1860) llegó a la misma conclusión a la que había llegado Lobachevski. E incluso el mismo Gauss que apoyaba y elogiaba a escondidas, nunca de forma pública, los trabajos de Bolyai y Lobachevski, es posible que mantuviera los mismos puntos de vista pero los calló por temor a comprometer su reputación científica.
La geometría no euclideana continuó siendo durante varias décadas un aspecto marginal de la matemática, hasta que se integró en ella completamente gracias a las concepciones extraordinariamente generales de Rieman.




Geometría antes de los griegos
El origen de la Geometría coincide con el origen de la humanidad. El pensamiento precientífico apoyado sobre el monoteísmo naturalista de Amenhotep IV funda en el siglo XIV aC culto a la nueva imagen del dios Ra representado con un círculo dorado. La abstracción del pensamiento mágico representa el primer acercamiento -informal e intuitivo- a la Geometría. Anteriormente, en el siglo XXVII a.C., el emperador chino Hoang-Ti mandó construir un observatorio astronómico con el fin principal de corregir el calendario.
Las primeras civilizaciones mediterráneas adquieren poco a poco conocimientos geométricos de carácter muy práctico basados en fórmulas -mejor dicho, algoritmos expresados en forma de recetario-, para calcular áreas y longitudes. La finalidad era práctica al pretender con ello calcular la producción proporcional de las parcelas de tierra para determinar los impuestos, o reconstruir las parcelas de tierra después de las inundaciones. El conocimiento geométrico tanto de egipcios como de las culturas mesopotámicas pasa íntegramente a la cultura griega a través de Tales de Mileto, la secta de los pitagóricos, y esencialmente de Euclides.

La Geometría antes de Euclides


Tales visita Egipto una larga temporada y aprende de los sacerdotes y escribas egipcios lo referente a sus conocimientos en general. Impresiona ahora -tanto como a los egipcios- que fuera capaz de razonar y medir entonces la altura de la pirámide de Keops y de predecir un eclipse solar con asombrosa precisión.
La Geometría griega es la primera en ser formal. Parte de los conocimientos concretos y prácticos de las civilizaciones egipcia y mesopotámicas, y da un paso de abstracción al considerar los objetos como entes ideales -un cuadrado cualquiera, en lugar de una pared cuadrada concreta, un círculo en lugar del ojo de un pozo...- que pueden ser manipulados mentalmente, con la sola ayuda de la regla y el compás. Aparece por primera vez la demostración como justificación de la veracidad de un conocimiento, aunque en un primer momento fueran más justificaciones intuitivas que verdaderas demostraciones formales.
La figura de Pitágoras y de la secta de seguidores pitagóricos tiene un papel central, pues eleva a la categoría de elemento primigenio el concepto de número, arrastrando a la Geometría al centro de su doctrina -en este momento inicial de la historia de la Matemática aún no existe distinción clara entre Geometría y Aritmética-, y asienta definitivamente el concepto de demostración formal como única vía de establecimiento de la verdad en Geometría.
Esta actitud permitió la medición de la tierra por Eratóstenes, así como la medición de la distancia a la luna, y la invención de la palanca por Arquímedes, varios siglos después.
En el seno de los pitagóricos surge la primera crisis de la Matemática: la aparición de los inconmensurables aunque esta crisis es de carácter más filosófico y aritmético que geométrico.
Surge entonces un problema a nivel lógico: una demostración parte de una o varias hipótesis para obtener una tesis. La veracidad de la tesis dependerá de la validez del razonamiento con el que se ha extraído (esto será estudiado por Aristóteles al crear la Lógica) y de la veracidad de las hipótesis. Pero entonces debemos partir de hipótesis ciertas para poder afirmar con rotundidad la tesis. Para poder determinar la veracidad de las hipótesis, habrá que considerar cada una como tesis de otro razonamiento, cuyas hipótesis deberemos también comprobar. Se entra aparentemente en un proceso sin fin en el que, indefinidamente, las hipótesis se convierten en tesis a probar.





Euclides y los Elementos





Vinculado al Museo de Alejandría y a su Biblioteca, Euclides zanja la cuestión al proponer un sistema de estudio en el que se da por sentado la veracidad de ciertas proposiciones por ser intuitivamente claras, y deducir de ellas todos los demás resultados. Su sistema se sintetiza en su obra cumbre los Elementos, modelo de sistema axiomático-deductivo. Sobre tan sólo cinco postulados y las definiciones que precisa construye toda la Geometría y la Aritmética conocidas hasta el momento. Su obra, en XIII volúmenes, perdura como única verdad geométrica hasta el siglo XIX.
Entre los postulados en los que Euclides se apoya hay uno (el quinto postulado) que trae problemas desde el principio. Su veracidad está fuera de toda duda, pero tal y como aparece expresado en la obra, muchos consideran que seguramente puede deducirse del resto de postulados. Durante los siguientes siglos, uno de los principales problemas de la Geometría será determinar si el V postulado es o no independiente de los otros 4, es decir, si es necesario considerarlo como un postulado o es un teorema, es decir, puede deducirse de los otros, y por lo tanto colocarse entre el resto de resultados de la obra.
Después de Euclides
Euclides cierra la etapa de Geometría griega -a excepción de Pappus en el 350 aC-, y por extensión la etapa del mundo antiguo y medieval-, a excepción también de las figuras de Arquímedes y Apolonio.
Arquímedes estudió ampliamente las secciones cónicas, introduciendo en la Geometría las primeras curvas que no eran ni rectas ni circunferencias, aparte de su famoso cálculo del volumen de la esfera, basado en los del cilindro y el cono.
Apolonio trabajó en varias construcciones de tangencias entre círculos, así como en secciones cónicas y otras curvas.





Los tres problemas de la Antigüedad





La Geometría griega es incapaz de resolver tres famosos problemas que heredarán los matemáticos posteriores. Los tres problemas debían ser resueltos entonces utilizando regla y compás, únicos instrumentos aceptados en la Geometría de Euclides. Añadido a estos tres problemas, la demostración de si el V postulado es o no es un teorema deducible de los cuatro anteriores se considera además de otro problema clásico de la Geometría helenística el hilo conductor hasta las Geometrías No Euclidianas del siglo XIX. Los tres otros problemas son:
La duplicación el cubo
Pericles muere de la terrible peste que asola Atenas.Cuenta la leyenda que una terrible peste asolaba la ciudad de Atenas, hasta el punto de llevar a la muerte a Pericles. Una embajada de la ciudad fue al oráculo de Delos, consagrado a Apolo (en ciertas fuentes aparece el oráculo de Delfos, en lugar del de Delos, también consagrado a Apolo), para consultar qué se debía hacer para erradicar la mortal enfermedad. Tras consultar al Oráculo, la respuesta fue que se debía duplicar el altar consagrado a Apolo en la isla de Delos. El altar tenía una peculiaridad: su forma cúbica. Prontamente, los atenienses construyeron un altar cúbico cuyos lados eran el doble de las del altar de Delos, pero la peste no cesó, se volvió más mortífera. Consultado de nuevo, el oráculo advirtió a los atenienses que el altar no era el doble de grande, sino 8 veces mayor, puesto que el volumen del cubo es el cubo de su lado ((2l)3 = 23l3 = 8l3). Nadie supo cómo construir un cubo cuyo volumen fuese exactamente el doble del volumen de otro cubo dado, y el problema matemático persistió durante siglos (no así la enfermedad).
La trisección del ángulo
Este problema consiste en dividir un ángulo cualquiera en tres ángulos iguales, empleando únicamente la regla y el compás, de manera que la suma de las medidas de los nuevos tres ángulos sea exactamente la medida del primero. Dadas las condiciones nadie ha logrado hacerlo.
La cuadratura del círculo
La cuadratura del círculo consiste en tratar de obtener, dado un círculo, un cuadrado cuya área mide exactamente lo mismo que el área del círculo. Anaxágoras fue el primero en intentar resolverlo, dibujando en las paredes de su celda cuando fue hecho prisionero por explicar diversos fenómenos que los griegos atribuían a los dioses. Tampoco pudo ser resuelto por los geómetras de la antigüedad, y llegó a ser el paradigma de lo imposible. Como curiosidad, el filósofo inglés David Hume llegó a escribir un libro con supuestos métodos para resolver el problema. Hume no tenía conocimientos matemáticos serios, y nunca aceptó que todos sus métodos fallaban.





La Geometría en la Edad Media





Durante los siguientes siglos la Matemática comienza nuevos caminos - Álgebra y Trigonometría - de la mano de indios y árabes, y la Geometría apenas tiene nuevas aportaciones, excepto algunos teoremas de carácter más bien anecdótico. En Occidente, a pesar de que la Geometría es una de las siete Artes Liberales (encuadrada concretamente en el Quadrivium), las escuelas y universidades se limitan a enseñar los Elementos, y no hay aportaciones, excepto tal vez en la investigación sobre la disputa del V postulado. Si bien no se llegó a dilucidar en este periodo si era o no independiente de los otros cuatro, sí se llegaron a dar nuevas formulaciones equivalentes de este postulado.





La Geometría en la Edad Moderna
La Geometría Proyectiva





Es en el Renacimiento cuando las nuevas necesidades de representación del arte y de la técnica empujan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geométricas para obtener nuevos instrumentos que les permitan representar la realidad. Aquí se enmarca la figura del matemático y arquitecto Luca Pacioli, de Leonardo da Vinci, de Alberto Durero, de Leone Battista Alberti, de Piero della Francesca, por citar sólo algunos. Todos ellos, al descubrir la perspectiva y la sección crean la necesidad de sentar las bases formales en la que se asiente las nuevas formas de Geometría que ésta implica: la Geometría proyectiva, cuyos principios fundamentales aparecen de la mano de Desargues en el siglo XVII. Esta nueva geometría de Desargues fue estudiada ampliamante ya por Pascal o por de la Hire, pero debido al interés suscitado por la Geometría Cartesiana y sus métodos, no alcanzó tanta difusión como merecía hasta la llegada a principios del siglo XIX de Gaspard Monge en primer lugar y sobre todo de Poncelet.





La Geometría Cartesiana





La aparición de la Geometría Cartesiana marca la Geometría en la Edad Moderna. Descartes propone un nuevo método de resolver problemas geométricos, y por extensión, de investigar en Geometría.
El nuevo método se basa en la siguiente construcción: en un plano se trazan dos rectas perpendiculares (ejes) -que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical-, y cada punto del plano queda unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, las coordenadas, quedará representado por un par ordenado (x,y), siendo x la distancia a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje vertical) e y la distancia al otro eje (al horizontal).
En la coordenada x, el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha del eje vertical (eje de ordenadas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada y, el signo positivo (también se suele omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje horizontal (eje de abscisas), tomándose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se omite nunca en este caso). A la coordenada x se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la y se la denomina ordenada del punto.
Existe una cierta controversia aun hoy sobre la verdadera paternidad de este método. Lo único cierto es que se publica por primera vez como Geometría Analítica, apéndice al Discurso del Método, de Descartes, si bien se sabe que Pierre de Fermat conocía y utilizaba el método antes de su publicación por Descartes. Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI utilizara un método muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de los citados matemáticos franceses tuviera acceso a su obra.
Lo novedoso de la Geometría Analítica (como también se conoce a este método) es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x,y) = 0, donde f representa una función. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de grado 1 (v.g.: 2x + 6y = 0) y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (v.g.: la circunferencia x2 + y2 = 4, la hipérbola xy = 1 ). Esto convertía toda la Geometría griega en el estudio de las relaciones que existen entre polinomios de grados 1 y 2. Desde un punto de vista formal (aunque ellos aun lo sabían), los geómetras de esta época han encontrado una relación fundamental entre la estructura lógica que usaban los geómetras griegos (el plano, la regla, el compás...) y la estructura algebraica del ideal formado por los polinomios de grados 0, 1 y 2 del Anillo de polinomios \mathbb{R}[x,y], resultando que ambas estructuras son equivalentes. Este hecho fundamental -no visto con nitidez hasta el desarrollo del Álgebra Moderna y de la Lógica Matemática entre finales del siglo XIX y principios del siglo XX-, resulta fundamental para entender por qué la Geometría de los griegos puede desprenderse de sus axiomas y estudiarse directamente usando la axiomática de Zermelo-Fraenkel, como el resto de la Matemática.
El método original de Descartes no es exactamente el que se acaba de explicar. Descartes utiliza solamente el eje de abscisas, calculando el valor de la segunda componente del punto (x,y) mediante la ecuación de la curva, dándole valores a la magnitud x. Por otro lado, Descartes sólo considera valores positivos de las cantidades x e y, dado que en la época aun resultaban "sospechosos" los números negativos. Como consecuencia, en sus estudios existen ciertas anomalías y aparecen curvas sesgadas. Con el tiempo se aceptaron las modificaciones que muestran el método tal y como lo conocemos hoy en día.





Los nuevos métodos
Agotamiento del método sintético





La aparición de la Geometría Analítica trae consigo una nueva forma de entender la Geometría. El nuevo método, algebraico, sustituye al antiguo, el sintético, consistente en establecer unos axiomas y unas definiciones y deducir de ellos los teoremas. El método sintético está a estas alturas casi agotado (aunque aun dará algunos resultados interesantes, como la característica de Euler, la naturaleza de estos resultados no es ya tanto geométrica como topológica, y los resultados realmente importantes que se hagan en adelante en el campo de la Geometría ya vendrán de la mano de métodos algebraicos o diferenciales), da paso al método algebraico: estudio de los objetos geométricos como representaciones en el espacio de ciertas ecuaciones polinómicas, o dicho de otro modo, del conjunto de raíces de polinomios. El método sintético sólo volverá a abordarse cuando aparezcan las geometrías no euclídeas, y definitivamente deja de ser un instrumento de investigación geométrica a principios del siglo XX, quedando relegado a un conjunto de instrumentos y herramientas para la resolución de problemas, pero ya como una disciplina cerrada.





Los límites del método algebraico





El método algebraico se ve posibilitado por un avance en Álgebra hecho durante el siglo XVI, la resolución de las ecuaciones de grado 3º y 4º. Esto permite generalizar la Geometría, al estudiar curvas que no son dadas por polinomios de segundo grado, y que no pueden construirse con regla y compás -además de las cónicas, excluyendo a la circunferencia, claro-. Pero este método, que terminará constituyendo una disciplina propia, la Geometría Algebraica, tardará aun mucho -siglo XX- en salir de unas pocas nociones iniciales, prácticamente inalteradas desde Descartes, Fermat y Newton. La razón será la imposibilidad de resolver por radicales la ecuación de quinto grado, hecho no descubierto hasta el siglo XIX, y el desarrollo de la Teoría de Anillos y del Álgebra Conmutativa.





El Cálculo Infinitesimal





El método algebraico tiene otra generalización natural, que es la de considerar una curva no solo como una ecuación polinómica, sino como una ecuación f(x,y) = 0 en la que el polinomio es ahora sustituido por una función cualquiera f. La generalización de todo esto desde el plano (2 coordenadas) al estereoespacio (3 coordenadas) se hace de forma natural añadiendo un tercer eje perpendicular (eje z) a los dos ya considerados, y las funciones tomarán la forma f(x,y,z).
Ya Isaac Barrow descubre gracias a la Geometría Analítica la relación entre la tangente a una curva y el área que encierra entre dos puntos y los ejes coordenados en su famosa Regla de Barrow, antes incluso de que Newton y Leibnitz dieran cada uno su exposición del Cálculo Infinitesimal. La relación entre el Análisis Matemático y la Geometría es así estrechísima desde incluso los orígenes de aquél. Las ideas geométricas no sólo fueron la base de los instrumentos iniciales del Cálculo Infinitesimal, sino que fueron en gran medida su inspiración. Por eso resulta natural que en un primer momento, Descartes, Newton o los Bernoulli no distinguieran entre los conceptos de curva y de función de una variable (o si se quiere, de curva y los ceros de una función de dos variables). Fue Euler el primero en empezar a intuir la diferencia, y el primero también en ampliar este tipo de estudios a las superficies (como función de dos variables o como el conjunto de los ceros de una función de tres variables). El trabajo de Monge continúa por esta línea.
En adelante, y hasta la aparición de Gauss, la Geometría queda supeditada a sus aplicaciones en Mecánica y otras ramas de la Física por medio de la resolución de Ecuaciones Diferenciales. Se estudia en especial la interpretación geométrica de las ecuaciones diferenciales (tanto de la solución en sí como problemas asociados a ellas, como puede ser el de las curvas ortogonales). En esta época aparece el que será el caballo de batalla de la Geometría Diferencial: el Teorema de la Función Implícita.
Fue Huygens el primero en estudiar la curvatura de una curva plana, aunque parece que fue Clairaut el que usa con maestría y fija el concepto.





La Geometría en la Edad Contemporánea





Gauss devuelve el carácter geométrico que impregna parte del Análisis Matemático, fundamentalmente con dos contribuciones: el nacimiento de la Variable Compleja y de la Geometría Diferencial.
Pero no son las únicas contribuciones de éste genio al campo de la Geometría. En su adolescencia se vio dividido entre dedicarse a la Filología o a la Matemática. A los 17 descubrió la manera de construir el polígono regular de 17 lados, y la condición necesaria y suficiente para que un polígono regular pueda construirse. Esto determinó su vocación.
En su primera demostración del Teorema Fundamental del Álgebra (de las cinco que realizó a lo largo de su carrera) sentó las bases del Análisis de Variable Compleja, usando la interpretación geométrica de los números complejos como vectores fijos del plano (no en este lenguaje, que será introducido mucho más tarde). Por cierto, se atribuye a Gauss la paternidad de esta idea. Primero Wessel y luego Argand se le anticiparon, pero nadie conocía los estudios de ambos. Aunque no es propiamente obra suya, pues la Variable Compleja está desarrollada fundamentalmente por Cauchy, sí es el primero en abordarla seriamente, y sobre todo le da una interpretación geométrica que marcará el desarrollo de esta rama.
Pero la principal contribución de Gauss a la Geometría es la creación de la Geometría Diferencial, retomando las ideas que sobre las relaciones entre el Análisis Matemático y la Geometría había hasta entonces y desarrollándolas ampliamente.
Partiendo de la base de que la Geometría estudia el espacio, las curvas y las superficies, establece la noción fundamental de curvatura de una superficie. Gracias a ella, y a la definición de geodésica, demuestra que si consideramos que una geodésica es una curva con menor distancia entre dos puntos sobre una superficie (es decir, si tenemos dos puntos sobre una superficie, el camino más corto entre esos dos puntos sin salirnos de la superficie es un segmento de geodésica), concepto totalmente análogo sobre la superficie al de recta en el plano, existen superficies en las que los triángulos formados por las geodésicas miden más de la medida de dos ángulos rectos, y otras en las que mide menos. Esto, esencialmente, es contradecir el V postulado de Euclides.
Estas consideraciones llevaron a Gauss a considerar la posibilidad de crear geometrías no euclídeas, pero aunque a esas alturas ya era el matemático más prestigioso de Europa, consideró que la mentalidad de la época no estaba preparada para un resultado de tal magnitud, y nunca publicó esos resultados. Sólo vieron la luz cuando Bolyai publicó su geometría no euclídea, y comprobó que la comunidad científica general aceptaba el resultado.
Así que, por un lado, Gauss fue el primero en crear una geometría no euclídea, y por otro fue el creador de la Geometría Diferencial y precursor de la Variable Compleja.
Además, Gauss es el primero en considerar una nueva propiedad en la Geometría: la orientación.
El final de los grandes problemas de la antigüedad
La controversia sobre el V postulado
Como ya se ha adelantado, Gauss es el primero en construir una geometría (un modelo del espacio) en el que no se cumple el V postulado de Euclides, pero no publica su descubrimiento. Son Bolyai y Lobachevsky quienes, de manera independiente y simultáneamente publican cada uno una geometría distinta en la que no se verifica tampoco el V postulado.
¿Qué quiere decir esto? Tanto Bolyai como Lobachevsky parten de un objeto geométrico y establecen sobre él unos postulados que son idénticos a los de Euclides en los Elementos, excepto el quinto. Pretenden originalmente razonar por reducción al absurdo: si el V postulado depende de los otros cuatro, cuando lo sustituya por aquél que dice exactamente lo contrario, he de llegar a alguna contradicción lógica. Lo sorprendente es que no se llega a contradicción ninguna, lo cual quiere decir dos cosas:
1º El V postulado es independiente de los otros cuatro, es decir, no puede deducirse de los otros cuatro, no es un teorema, y Euclides hizo bien en considerarlo como un postulado.
2º Existen modelos del espacio en los que, en contra de toda intuición, por un punto que no esté en una cierta recta no pasa una única recta paralela a la dada. Esto es tremendamente antiintuitivo, pues no podemos concebir tal cosa, no podemos imaginar (ni mucho menos dibujar) una situación así, sin reinterpretar los conceptos de recta, plano, etc. Pero desde el punto de vista lógico es perfectamente válido.
Como es de imaginar, esto supuso una fuerte crisis en la Matemática del siglo XIX, que vino a sumarse a otras controversias.
Es importante señalar que las geometrías de Bolyai y de Lobachevsky, no depende de si se construyen usando métodos analíticos o sintéticos. Existen formas de construirlas tanto de manera sintética como analítica. El modelo es el mismo se llegue como se llegue, lo que abunda en su veracidad.





La trisección del ángulo y la duplicación del cubo





Un hecho aparentemente lejano en Álgebra dará como resultado la resolución de estos dos problemas. Galois muere a los 21 años de edad dejando un "testamento" lleno de ideas apresuradamente escritas. Entre ellas se encuentran las bases de la Teoría de Grupos y de la Teoría de Galois. Galois resolvió el problema de encontrar una fórmula para solucionar las ecuaciones de 5º grado, pero este resultado no llegó a ser publicado en su corta vida. Concluyó que una ecuación de grado 5 o mayor puede ser no resoluble por radicales (es decir, mediante una fórmula con un número finito de operaciones algebraicas). Su manera de abordar el problema abre una nueva vía dentro de la Matemática.
Pero la Teoría de Galois (una rama del Álgebra que trata sobre cuándo es posible resolver una ecuación polinómica estudiando el conjunto de números en los que se expresa esa ecuación) no da sólo esos frutos. También demuestra que todo lo construible con regla y compás tiene una traducción a polinomios muy concreta. Se demuestra que trisecar un ángulo o duplicar un cubo necesita de polinomios que no tienen esa forma, y por lo tanto, es imposible con la sola ayuda de la regla y el compás trisecar un ángulo cualquiera o duplicar un cubo.





La cuadratura del círculo





En 1862, Lindemann demuestra que el número Pi es trascendente, es decir, no puede ser raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros. Esto implica que no es un número que pueda construirse con regla y compás, y demuestra que no es posible construir con sólo estos instrumentos un cuadrado de area igual a la de un círculo dado.
El 10 de junio de 1854, Bernhard Riemann da una conferencia en la Universidad de Gotinga para completar su habilitación (grado que le permitiría optar a una plaza de profesor universitario). El tema de la conferencia fue la Geometría, a elección de Gauss, su protector y antiguo profesor durante la licenciatura y el doctorado. La conferencia, cuyo título fue Über die Hypothesen, Welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sobre las hipótesis que están en los fundamentos de la geometría), pasa por ser una de las más celebradas de la historia de la Matemática, y uno de los mayores logros científicos de la humanidad. De entre los presentes se dice que sólo Gauss fue capaz de comprender su contenido, y hay que decir que le entusiasmó.
Variedades riemannianas y el tensor curvatura
En la primera parte de la conferencia, Riemann se pregunta qué problema hay en aumentar el número de dimensiones del espacio. Riemann, usando aun un lenguaje intuitivo y sin hacer demostraciones, introduce primero el concepto de variedad diferenciable, generalización del concepto de superficie a cualquier número (entero positivo) arbitrario de dimensiones. De hecho, el nombre variedad hace referencia a las varias coordenadas que variarían para ir obteniendo los puntos del objeto. Las superficies serían las variedades de dimensión 2, mientras que las curvas serían las variedades de dimensión 1, y aun los puntos las de dimensión 0. De todas formas, esta aproximación al concepto es demasiado imprecisa, pues el punto clave de la definición formal de una variedad diferenciable (definición no expuesta correctamente hasta 1913 por Hermann Weyl) es que esto es cierto localmente, es decir, cada punto de la variedad tiene algún entorno homeomorfo a un abierto del espacio euclídeo \mathbb{R}^n, de manera que cuando el inverso de uno de estos homeomorfismos se compone con otro de estos homeomorfismo se obtiene una función diferenciable de un abierto de \mathbb{R}^n en otro abierto de \mathbb{R}^n. Pero como decimos hicieron falta casi 60 años para que la definición terminara de cuajar.
No era la primera vez que se especulaba con la posibilidad de la existencia de espacios de dimensión superior a 3. De hecho este tema ha sido tratado en la Historia en varias ocasiones, pero siempre desde un punto de vista de la realidad sensible (para negar su existencia) o metafísico. Es Cayley quien en 1843 trata explícitamente el tema por primera vez, y volverá a él nuevamente en repetidas ocasiones. Le seguirán Sylvester, Clifford, Grassmann y Schläfli entre otros, aunque hay que decir que la visión de todos ellos es mucho más algebraica que geométrica.
Es probable que el estudio de las superficies de Riemann, objetos a cuyo estudio había dedicado su tesis doctoral, indujeran a Riemann a pensar en este concepto de variedad de dimensión arbitraria.
Si tomamos unos ejes coordenados y dibujamos todos los puntos (x,f(x)), donde x varía en un intervalo y f es una función real, derivable y definida sobre ese mismo intervalo, obtendremos la curva (dimensión 1) dada por la gráfica de una función.
Si en lugar de ser una función de una variable tenemos una función de dos variables f(x,y), al dibujar todos los puntos (x,y,f(x,y)), donde (x,y) son de una región del plano donde esté definida f, obtenemos una superficie (dimensión 2). Riemann estudia funciones complejas de variable compleja, es decir, funciones cuya gráfica tendría por puntos cosas de la forma (x,y,u(x,y),v(x,y)), siendo tanto u(x,y) como v(x,y) funciones reales (es decir, cada uno representa un número real). Las gráficas de este tipo de funciones tendrían dimensión 3 y estarían en un espacio de 4 dimensiones, y gozarían de propiedades muy parecidas a las de las superficies.
Una variedad riemanniana no es sólo un objeto geométrico n-dimensional. Es una variedad diferencial a la que además hay que dotar de una métrica. Una métrica es un campo de tensores diferenciable de grado 2. Veamos: en cada punto de una variedad diferencial se puede calcular el espacio tangente a la variedad en ese punto, al igual que en una superficie (suave), en cada punto podemos calcular el plano tangente en ese punto a la superficie, y en una curva (suave) podemos calcular en cada punto la recta tangente a la curva en dicho punto.
Ese espacio tangente tendrá la misma dimensión que la variedad (en el caso de curvas, el espacio tangente -la recta tangente- tiene dimensión 1, en el de superfícies tiene dimensión 2). Una métrica (o estructura riemanniana) sobre una variedad es una aplicación que a cada punto de la variedad le asigna un producto escalar en el espacio tangente a la variedad en ese punto, y esa aplicación es diferenciable. Un producto escalar es, para entendernos, una regla que nos permite calcular longitudes de segmentos y ángulos entre rectas. A través de una métrica, se pueden definir sobre una variedad conceptos como longitud de una curva o el ángulo entre dos curvas, generalizar a variedades el concepto de geodésica, ya utilizado por Gauss para superficies, que viene a ser (ojo, esto es una explicación de cómo es una geodésica, no es una definición) una curva dibujada sobre una superficie (o en nuestro caso sobre una variedad) de tal forma que entre dos de sus puntos minimice la distancia medida sobre la superficie (variedad). Por ejemplo, si tenemos un globo y marcamos dos puntos sobre él, la distancia más corta se calculará, como sabemos, por la medida del segmento de recta que atraviesa el globo por ambos puntos. Sin embargo, si lo que pretendemos es buscar el camino más corto para llegar de un punto a otro sin salirnos de la superficie del globo, tendremos que dibujar sobre él una curva que una los puntos y se combe por la propia "curvatura" del globo. Esa curva sería un segmento de geodésica en la superficie del globo.
El punto culminante de la primera parte de la conferencia llegó cuando Riemann, utilizando las geodésicas, define el tensor curvatura seccional, que es la generalización a variedades del concepto de curvatura estudiado por Gauss. Este instrumento permite "medir la curvatura" de una variedad.





El modelo del Universo





En la segunda parte de la conferencia, Riemann se pregunta por el modelo que debe de seguir el espacio físico, el espacio en el que nos movemos, cuál es su dimensión, cuál es su geometría.
Las ideas de Riemann, decididamente muy avanzadas para su época, cuajaron definitivamente cuando Einstein y Poincaré, al mismo tiempo pero de manera independiente, las aplicaron al espacio físico para crear la Teoría de la Relatividad.
El nuevo modo de Riemann de estudiar la Geometría considera que cualquier modelo de espacio (ya sea el plano, el espacio tridimensional, o cualquiera otro) puede ser estudiado como una variedad diferenciable, y que al introducir en ella una métrica se está determinando la geometría que gobierna ese objeto. Por ejemplo, el plano no es, por sí solo, euclidiano ni no euclidiano, sino que introduciendo la métrica euclídea es cuando en el plano verifica el V postulado de Euclides. Si en lugar de considerar esa métrica se introduce en el plano otra métrica, como la de Lobatchevsky, deja de verificarse el mismo postulado. La propiedad de las geodésicas de minimizar la longitud entre dos de sus puntos sin salirse de la variedad recuerda mucho a la definición de las rectas como aquellas líneas que determinan la menor distancia entre dos puntos. Se considera que las geodésicas son a las variedades riemannianas lo que las rectas al espacio euclidiano, es decir, las geodésicas son como las rectas de las variedades.
Esta nueva visión permite estudiar todas las nuevas geometrías no euclídeas, así como la geometría euclidiana bajo la misma óptica de la nueva Geometría Riemanniana.
Cuando las ideas de Riemann consiguen extenderse, la Geometría pasa ya definitivamente a ser el estudio de las variedades, dejando de ser definitivamente el estudio de triángulos, circunferencias, polígonos, etc.
Los puntos básicos de la conferencia de Riemann son, por un lado, la posibilidad de aumentar indefinidamente el número de dimensiones del espacio (el Álgebra y el Análisis están ya creando la maquinaria necesaria para poder operar en dimensión finita arbitraria, con lo que definitivamente se podrá estudiar Geometría más allá de su visualización gráfica), es decir, de estudiar espacios de 3, 4, 5...dimensiones, y por otro lado dotar a los geómetras de un instrumento, el tensor curvatura, que les permite estudiar las propiedades intrínsecas de esos nuevos objetos, esos nuevos espacios, las variedades.
Felix Klein es la otra gran pieza clave de la Geometría en el siglo XIX. En 1871 descubrió que la geometría euclidiana y las no euclidianas pueden considerarse como casos particulares de la geometría de una superficie proyectiva con una sección cónica adjunta. Esto implicaba dos cosas: la primera es que la geometría euclidiana y las no euclidianas podían considerarse como casos particulares de la geometría proyectiva (o mejor dicho, de la geometría de una superficie en un espacio proyectivo). La segunda, que la geometría euclidiana es consistente (es decir, no puede llevar a contradicciones) si y sólo si lo son las geometrías no euclidianas.
Con esto se da fin a la controversia de si las geometrías no euclidianas tienen sentido o no, aunque el asunto coleará aun unos años ante el escepticismo de ciertos elementos que considerarán erróneo el argumento de Klein.





El Programa de Erlangen





Con motivo de su ingreso como profesor en la Facultad de Filosofía y al Senado de la Universidad de Erlangen, Klein escribió una memoria en 1872 que no llegó a leer en público y que puede considerarse, junto a la Conferencia de Riemann y a los Elementos de Euclides, como los puntos esenciales del estudio de la Geometría.
La idea de la memoria, conocida como el Programa de Erlangen, es bastante sencilla. Se trata de dar una definición formal de lo que es una geometría, más allá de la idea más o menos intuitiva que tenemos de ella.
Ante la aparición de las nuevas geometrías no euclidianas, parece lógico preguntarse qué es la Geometría, máxime cuando la propia idea de la geometría euclidiana se había visto modificada desde la irrupción de los métodos algebraicos y analíticos. Empieza a no estar tan claro que la Geometría sea el estudio de puntos, líneas (rectas o curvas) y superficies, puesto que el propio Análisis Matemático (sobre todo en el estudio de Ecuaciones Diferenciales) parece que también estudia tales objetos. Por otra parte, los métodos analíticos y algebraicos también son aplicables a las geometrías no euclidianas. Hay, digamos, dos niveles de distinciones: por un lado, la de las geometrías no euclidianas y la geometría euclidiana, por otro lado, la distinción entre el método sintético, el algebraico y el analítico.
¿Qué es la Geometría?
Klein responde a la pregunta introduciendo en la Geometría un nuevo concepto de carácter algebraico: el concepto de grupo. Un grupo es un conjunto G en el que hay definida una operación, es decir, una aplicación G \times G \longrightarrow G que a cada par de elementos del conjunto se le asigna otro elemento del conjunto (que será el resultado de operar dichos dos elementos). Mientras que la mayoría de la gente está familiarizada con las operaciones numéricas, les resulta difícil imaginar que puedan operarse puntos, rectas, etc. Puede hacerse, y no hay más que pensar en, por ejemplo, la operación "tomar el punto medio", que a cada par de puntos se le asigna el punto medio del segmento que une los dos primeros puntos.
Para que un conjunto en el que haya una operación sea un grupo deben de cumplirse ciertas condiciones:
* La operación debe ser asociativa: esto quiere decir que si tomamos cualesquiera tres elementos a,b,c del conjunto, el resultado de operar los dos primeros (a y b) y operar el resultado de ello con el tercero (c) debe de ser lo mismo que si primero operamos el segundo y el tercero (b y c) y el resultado lo operamos con el primero (a). Es decir, si la operación la denotamos por \star ha de ocurrir que a \star (b \star c) debe de ser lo mismo que (a \star b) \star c.
* Debe existir un elemento neutro: esto quiere decir que ha de haber un elemento e del conjunto de manera que si tomo cualquier otro elemento a del conjunto y lo opero con él, entonces el resultado vuelve a ser el elemento a, es decir, es como si al elemento a no lo hubiera operado. Así, con nuestra notación, e \star a = a y a \star e = a.
* Por último, cada elemento debe tener un elemento simétrico: esto quiere decir que si yo tomo un elemento cualquiera a del conjunto, entonces puedo encontrar otro elemento \hat{a} del conjunto de tal manera que al operar ambos, el resultado que obtengo es el elemento neutro: a \star \hat{a} = \hat{a} \star a = e.
El concepto de grupo no es invención de Klein, pero es él quien descubre un hecho fundamental que lo relaciona con las distintas geometrías: cada geometría es el estudio de ciertas propiedades que no cambian cuando se le aplican cierto tipo de transformaciones. Esas propiedades -por no cambiar-, las denomina invariantes, y las transformaciones que a un invariante no le hacen cambiar han de tener estructura de grupo bajo la operación de composición (componer dos transformaciones es hacer una de ellas y aplicarle la otra transformación al resultado de la primera). Resumiendo, Klein define soterradamente una geometría como dar el subgrupo de las biyecciones de un conjunto en sí mismo que uno admitirá como grupo principal. Los conceptos o definiciones serán los invariantes por ese grupo principal, y los teoremas serán las relaciones entre los conceptos.
Así Klein descubre que, por ejemplo, la geometría euclidiana es el estudio de los invariantes mediante el grupo de los movimientos rígidos (como las simetrías, giros y traslaciones), que la geometría afín es el estudio de los invariantes mediante el grupo de las translaciones, que la geometría proyectiva es el estudio de los invariantes mediante el grupo de las proyectividades, e incluso que la Topología es el estudio de los invariantes mediante el grupo de las funciones continuas y de inversa continua, entre otras.
De hecho, Klein afirma que la comprensión de "tener una geometría, entonces hay un grupo principal" es más bien al revés. Uno a priori dice qué tipo de transformaciones admitirá (es decir, da el grupo) y todo lo demás se puede reconstruir a partir de él. Se demuestra incluso, que si uno da un subgrupo de las biyecciones de un conjunto en sí mismo isomorfo a algún grupo clásico (simetrías, translaciones, proyectividades) entonces todos los teoremas de esa geometría son válidos en este.
El descubrimiento de Klein es fundamental, ya que por un lado nos permite clasificar las geometrías, comprendiendo cuál es una "subgeometría" de cual, por otro lado nos permite comprender qué es el estudio general de la Geometría (como disciplina matemática) y por último, pero no menos importante, es la confirmación de que los métodos sintético y algebraico no dan geometrías distintas, sino que realmente estudian la misma geometría en cada caso. Se pone fin así a la distinción entre el método sintético y el algebraico-analítico. En su época supuso la consagración de la Geometría Proyectiva como la Reina de las Geometrías.





Historia de la Geometría Descriptiva.








La geometría descriptiva existía antes de ser inventada. La complejidad de los cortes de la piedra o la madera ha requerido siempre el uso de proyecciones ortogonales, y sin embargo el sistema diédrico es relativamente moderno. La perspectiva cónica nació de un proceso artístico lento, anterior al concepto de “sección de la pirámide visual”. Las axonometrías son utilizadas sistemáticamente mucho antes de quedar geométricamente explicadas por la teoría decimonónica. Por eso, cuando en 1795 alguien decidió que esta denominación, geometría descriptiva, era conveniente para designar un conjunto de hábitos y conocimientos, estaba, en realidad, legalizando una situación existente.
Quien tomó la decisión fue un revolucionario francés, de origen humilde, entusiasta defensor de la racionalización, protagonista de la organización del calendario republicano, del sistema de pesas y medidas, y principal inspirador de la Escuela Normal y de la Escuela Politécnica, que consiguió extender su organización de la enseñanza por todo el continente. La expresión escogida para designar a esta materia, geometría descriptiva, perseguía aprovechar el prestigio de la llamada geometría analítica, contrastando con ella. Desde entonces y durante todo el siglo XIX los responsables de la producción teórica y la docencia de la geometría descriptiva, los profesionales de la geometría descriptiva, entendieron que la perfección de esta disciplina consistiría en alcanzar una organización ideal al modo de las diversas ramas de la matemática. Como cualquier cosa se puede forzar hasta conseguir que se parezca al álgebra, consiguieron su objetivo, y al final del siglo ya existía un aparato teórico ideal, la llamada geometría proyectiva, que se constituía en abstracción de los procedimientos de la geometría descriptiva y permitía olvidar la realidad histórica y colgar los diversos modos de representar, de las ramas de un árbol taxonómico ideal. Esto no era útil al usuario, pero dejaba a los profesionales de la geometría descriptiva satisfechos, casi tanto como cuando los matemáticos consiguieron convencer a todo el mundo de que los niños debían conocer la teoría de conjuntos, sin embargo, la geometría descriptiva no podía dejar de ser lo que era, una actividad intrínseca al trabajo del diseñador, una reflexión sobre las posibilidades del espacio sensible y sobre los criterios, más o menos convencionales, que empleamos para su representación plana. Y para el arquitecto sigue siendo necesario cierto conocimiento de lo que es o no es geométricamente posible al emplear formas materiales; y es también necesario -con el uso del ordenador es más necesario que nunca- el conocimiento critico de los modos de proyección plana que hemos decidido utilizar. De manera que el curioso aparato montado por nuestros predecesores aparece obsoleto y cada vez más es evidente que la geometría descriptiva se constituye y se debe enseñar a partir de un conjunto de modos de hacer muy adheridos a la realidad.Parece que un estudiante de arquitectura debe saber lo que es la perspectiva y cómo cambia al alterar sus elementos; debe ser capaz de resolver gráficamente algunos sencillos problemas espaciales; debe controlar la variedad de las axonometrías; debe leer con soltura una topografía definida por sus curvas de nivel; debe conocer las propiedades y posibilidades de conos, cilindros, superficies de revolución, esfera, y algunos menos comunes, como elipsoides y paraboloides, superficies regladas.¿Qué es Geometría Descriptiva y sus objetivos?. Es la ciencia de las relaciones y análisis en el espacio tridimensional. Tiene por objeto la representación de las figuras geométricas del espacio en un plano, de tal manera que las construcciones en el espacio se puedan reducir a construcciones más cómodas en un plano. Se puede determinar un punto del espacio mediante sus proyecciones desde dos puntos de vista distintos, sobre un plano. Uno de los objetivos de la geometría descriptiva es capacitar a los usuarios del dibujo a la interpretación y representación de los objetos tridimensionalmente en un plano bidimensional.








Geometría (del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir'), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclídea.





Geometría demostrativa primitiva





El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos.

Pitágoras
En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios.
Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemáticos griegos es la siguiente afirmación: "una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de estos axiomas.
Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitágoras).
La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclides, en su libro "Los elementos". El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros días.Primeros problemas geométricos
Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en los que cierta línea o figura debe ser construida utilizando sólo una regla de borde recto y un compás. Ejemplos sencillos son la construcción de una línea recta dos veces más larga que una recta dada, o de una recta que divide un ángulo dado en dos ángulos iguales.
Tres famosos problemas de construcción que datan de la época griega se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemáticos que intentaron resolverlos: la duplicación del cubo (construir un cubo de volumen doble al de un determinado cubo), la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con área igual a un círculo determinado) y la trisección del ángulo (dividir un ángulo dado en tres partes iguales). Ninguna de estas construcciones es posible con la regla y el compás, y la imposibilidad de la cuadratura del círculo no fue finalmente demostrada hasta 1882.

Apolonio de Perga
Los griegos, y en particular Apolonio de Perga, estudiaron la familia de curvas conocidas como cónicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del Sol son fundamentalmente cónicas.
Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable número de aportaciones a la geometría. Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros. También elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi, la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo y estableció que este número estaba entre 3 10/70 y 3 10/71.





Geometría analítica





La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Método", publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.
Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades de las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro.

Modernos avances

Carl Fiedrich Gauss





La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes.
Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una línea perpendicular a él, se genera un espacio tridimensional.

János Bolyai





Yendo más lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una línea perpendicular, tendremos un espacio tetradimensional. Aunque éste es físicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente sólido. El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un importante número de aplicaciones en las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de la relatividad.
También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras geométricas regulares en cuatro o más dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones. Esta geometría se conoce como geometría estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometría es la definición de la figura geométrica más sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o más dimensiones.


Arthur Cayley








En los cuatro primeros casos, las figuras son los bien conocidos punto, línea, triángulo y tetraedro respectivamente. En el espacio de cuatro dimensiones, se puede demostrar que la figura más sencilla está compuesta por cinco puntos como vértices, diez segmentos como aristas, diez triángulos como caras y cinco tetraedros. El tetraedro, analizado de la misma manera, está compuesto por cuatro vértices, seis segmentos y cuatro triángulos.
Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el siglo XIX. En la década de 1970 el concepto se desarrolló como la geometría fractal.












domingo, 31 de mayo de 2009

Los Grandes Fisicos

Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947)

Físico alemán considerado el creador o precursor de la teoría cuántica, galardonado en 1928 con el Nobel por su trabajo de la cuantización.
Nacido en Kiel el 23 de abril de 1858, estudió en las universidades de Munich y Berlín. Fue profesor de física en la Universidad de Kiel en 1885 y posteriormente en la Universidad de Berlín (1889-1928). En diciembre de 1900 Planck presentó en una reunión de la Sociedad Alemana de Física un trabajo titulado “La teoría de la ley de distribución de fuerzas del espectro normal”, en este trabajo formuló que la energía se radia en unidades discretas denominados cuantos . Desarrollando esta teoría descubrió la constante universal que lleva su nombre (constante de Planck y es 6'63·10-34 J·s) la cual, multiplicada por la frecuencia de la radiación determina la energía del cuanto.
Su teoría de la cuantización no invalidaba el comportamiento como onda de las radiaciones, y actualmente se entiende que las radiaciones combinan las propiedades de onda-partícula. Muchos físicos creen que la teoría de la relatividad (de 1905 por Albert Eisntein) y la teoría de Planck (las dos relacionadas) supusieron el mayor avance en física desde los tiempos de Newton.
Fue presidente de la Sociedad Kaiser Guillermo (una asociación de científicos alemanes para el progreso de la ciencia), y criticó los nazis cuando éstos subieron al poder; acabada la II Guerra Mundial dicha sociedad fue rebautizada con el nombre de Sociedad Max Planck. Murió en Gotinga el 4 de octubre de 1947. Sus obras más destacadas son Introducción a la física teórica (5 volúmenes, 1932-1933) y Filosofía de la física (1936). Aunque su vida personal y familiar fue más bien dura (además de vivir el periodo de entreguerras) tiene el mérito de haber descubierto al mundo un nuevo camino de la física ( la Física Cuántica ), con sus excelentes aportaciones.
Oct 2005


Niels Henrick David Bohr (1885-1962)

Físico danés que recibió el Premio Nobel en 1922 por sus fundamentales aportaciones en el campo de la física nuclear y de la estructura del átomo.
Nació en Copenhague el 7 de octubre de 1885, estudió en la universidad de su ciudad natal, donde se doctoró en 1911 con un trabajo sobre la teoría electrónica de los metales. Ese año fue a Cambridge para estudiar física nuclear con J.J. Thompson (descubridor del electrón), pero pronto se trasladó a Manchester para trabajar con Ernest Rutherford (quién demostró en un experimento de 1911 que la carga positiva que da neutralidad eléctrica al átomo está en el núcleo atómico, dando lugar a una concepción planetaria del átomo como núcleo rodeado de electrones).
La teoría de la estructura atómica se publicó en una memoria entre 1913 y 1915 y gira entorno al modelo nuclear del átomo de Rutherford. El modelo de átomo de Bohr utilizó la teoría cuántica y la constante de Planck. Este modelo establece que un átomo emite una radiación determinada cuando un electrón cae a una orbita inferior, y viceversa, impulsando también otro concepto de que los electrones se encuentran en capas y que los de la última capa determinan las propiedades químicas de un átomo.
Los descubrimientos anteriores fueron la base para que le otorgaran el premio Nobel, pero su brillante carrera cientifica continuaría. Viendo que su explicación de la estabilidad del átomo se basaba en agregar el “pegado” de la cuantización a los conocimientos clásicos, quiso profundizar en ésta para crear una nueva mecánica, y lo hizo des de la Universidad de Copenhague. Allí pasaron los más brillantes físicos del mundo los cuales elaborarían la mecánica cuántica; de hecho, la interpretación más aceptada de ésta mecánica se llama Interpretación de Copenhague.
En 1936 Bohr propuso un modelo para núcleos atómicos, conocido como modelo colectivo o de la gota líquida siendo fundamental para comprender la estructura de los núcleos y las reacciones nucleares. Este modelo sirvió para que en 1939 Hahn y Strassman decubrieran el proceso de fisión del núcleo de uranio. Fue Bohr el que identificó el isótopo 235 del Uranio como el que se fusionaba con neutrones lentos; este evento abrió la Era Atómica (científica y desgraciadamente también militar).
La invasión nazi en la Dinamarca del 1940 sorprendió y retubo a Bohr en su país hasta 1943. Cuando aquel año le informaron que la Gestapo iba detrás de él se escapó con su familia a Suecia, de allí a Inglaterra en un avión del servicio de inteligencia británico y posteriormente a los Estados Unidos. Bajo el seudónimo de «Nicholas Baker» actuó como asesor en el laboratorio de la bomba atómica en Los Álamos (Nuevo México) hasta el fin de la guerra en Europa, y volvió a Dinamarca en el verano de 1945.
Después de la 2ª Guerra Mundial Bohr, hizo frente a la “ceguera” política del momento y destacó por sus enormes esfuerzos para que hubiera una cooperación internacional que controlara la energía atómica y evitar una carrera armamentística. Además fue uno de los principales impulsores para la creación del Centro Europeo de Investigaciones Nucleares (CERN) en Ginebra, siendo considerado además el ciudadano más eminente de su país.
Niels Bohr fue un hombre comprometido en la tarea de que hubiera un control de la energía nuclear y que ésta solo se utilizara para fines pacíficos. Sus aportaciones definieron la esencia de la materia de una nueva forma, más profunda, aquello de que todos estamos hechos: núcleos atómicos, electrones, partículas subatómicas... Por último, una sugerente cita de Bohr: "Cualquiera que no esté impactado con la teoría cuántica no la ha entendido."
Nov 2005


Werner Karl Heisenberg (1901-1976)

Físico alemán, galardonado con el premio Nobel en 1932 por la creación y desarrollo de la mecánica cuántica. Su principio de incertidumbre todavía ahondó más en esta teoría de principios de siglo XX.
Nació el 5 de diciembre de 1901 en Würzburgo (Alemania), a los 5 años Werner inició su enseñanza primaria en una escuela de su ciudad natal. Después de un translado familiar en 1910, ingresa en una escuela de Munich donde su abuelo materno es director. Pero empezada la Primera Guerra Mundial (1914), el edificio pasa a convertirse en un cuartel del ejército habiendo un déficit en la educación. Fue entonces cuando Heisenberg empieza a estudiar de manera independiente matemáticas, física y religión, ayudando incluso en el cálculo a amigos universitarios de la familia.
En aquel período de guerra Werner ayuda con labores agrícolas como contribución a una organización de voluntarios, aprovechando los períodos de descanso para jugar al ajedrez y estudiar textos de matemáticas como la teoría de números o el trabajo de Kronecker. En 1920, finalizada ya la Primera Guerra Mundial accede a una beca de la Fundación Maximilianeum e ingresa a la Universidad de Munich. Allí conoce el que sería su profesor guía, Arnold Sommerfield y otros futuros grandes físicos como Wolfgang Pauli, los cuales le inducirían a estudiar físca teórica.
Posteriormente visita la Universidad de Gotinga para trabajar junto a Max Born en la teoría atómica y la mecánica cuántica, asistiendo además a algunas conferencias de Niels Bohr. Finalmente se doctora en Munich en 1923 con una tesis sobre la turbulencia de los fluidos.
En 1925 Heisenberg, reformula la teoría cuántica de Bohr y desarolla junto a Max Born y Paul Jordan un sistema de matrices para calcular las propiedades espectrales de los átomos. En 1926 trabaja con Niels Bohr en Copenhague gracias a una beca de la Fundación Rockefeller y esboza la idea del principio de incertidumbre, el cual predice una indeterminación en ciertos pares de variables físicas (como la velocidad y posición). El 1927 empieza como profesor titular en la Universidad de Leipzig, desempeñando ese cargo hasta 1941, por ser nombrado director del Instituto Kaiser Wilhelm de Berlín. Durante ese tiempo se casa con Elizabeth Schumacher y además será acusado por los nazis de hacer matemáticas y físicas al “estilo judío” (por la relatividad de Einstein).
En la Segunda Guerra Mundial Heisenberg dirige el que sería el proyecto alemán de armas nucleares junto a Otto Hahn, lo cual supone un fracaso; no teniendo claro los historiadores si se debió a falta de recursos o a inclinaciones personales.
Después de la guerra es reclutado junto a otros cientificos en Godmanchester (Gran Bretaña) donde será vigilado por los servicios de inteligencia aliados y donde se enterará de las explosiones nucleares en Hiroshima y Nagasaki.
En 1946 es exonerado de culpas y vuelve a Alemania para dirigir el Instituto Max Planck, primero en Gotinga y más adelante en Munich (por traslado en 1958), cargo que ocupó hasta su dimisión en 1970.
Heisenberg recibió grandes honores y premios en todo el mundo, como persona que contribuyó en la creación de una revolucionaria teoría en su tiempo: la teoría cuántica. Quizá no fuera una casualidad que el proyecto alemán de armas nucleares fracasara, o quizás sí, pero lo cierto es que fue un hombre que profundizó en su campo como pocos lo habían hecho, hablando así: “ Todas las cualidades del átomo de la física moderna, que sólo pueden simbolizarse mediante una ecuación, en derivadas parciales o en un espacio abstracto multidimensional, son inferidas; no se le puede atribuir directamente propiedad material alguna. Así pues, cualquier representación suya que pueda crear nuestra imaginación es intrínsecamente deficiente; la comprensión del mundo atómico de ese modo primario y sensorial... es imposible


Galileo Galilei

Astrónomo y Físico
1564 -1642
"No me siento obligado a creer que iguales
dios que nos ha dotado con el sentido, razón y
la intelecto nos ha pensado para renunciar su uso".
-- Galileo
Galileo Galilei nació el 15 de febrero de 1564 en Pisa, Italia. Galileo inició el "método científico experimental", y era el primero en utilizar un telescopio que refractaba para hacer descubrimientos astronómicos importantes.
En 1604 Galileo aprendió de la invención del telescopio en Holanda. De la descripción más pelada él construyó un modelo sumamente superior. Con él hizo una serie de descubrimientos profundos incluyendo las lunas del planeta Júpiter y las fases del planeta Venus (similar a los de la luna de la tierra).
Como profesor de astronomía en la Universidad de Pisa, requirieron a Galileo enseñar la teoría aceptada de su tiempo que el sol y todos los planetas giran alrededor de la tierra. Más adelante en la Universidad de Padua lo expusieron a una nueva teoría, propuesta por Nicolaus Copernicus, de que la tierra y el resto de planetas giran alrededor del Sol. Las observaciones de Galileo con su telescopio nuevo lo convencieron de la verdad de la teoría sol-centrada o heliocéntrica de Copernicus.
La ayuda de Galileo para la teoría heliocéntrica lo puso en apuro con la iglesia católica. En 1633 la inquisición le condenaba como hereje y fue forzado al "recant" (retírese público) su ayuda de Copernicus. Lo condenaron al encarcelamiento de por vida, pero debido a su edad avanzada le permitió que terminara su detención en su chalet fuera de Florencia, Italia.
Galileo como científico pone la originalidad en su método de investigación. Primero él redujo problemas a un sistema simple de términos en base de experiencia diaria y común de lógica. Después él los analizaba y resolvió según descripciones matemáticas simples. El éxito con el cual él aplicó esta técnica al análisis del movimiento abrió la manera para la física matemática y experimental moderna. Isaac Newton utilizó una de las descripciones matemáticas de Galileo, "la ley de la inercia," como la fundación para su "primera ley del movimiento." Galileo murió en 1642, el año del nacimiento del neutonio.

Cristian Huygens

Matemático
Nacido el año 1629, en Hofwijck,
Holanda,
Fallecido el año 1695, en París,
Francia.
Cristian Huygens, vivió desde el año 1629 al año 1695. Muchos historiadores lo consideran como el más célebre matemático geómetra de Europa tras la muerte de Descartes. Dentro de las actividades científicas a las cuales orientó su vocación como investigador también se encuentra la biología, al margen de ciencias relacionadas con la matemática como son la física y la astronomía.
Nació en Hofwijck, Holanda, su padre Constantijin Huygens, era un académico y diplomático de renombre que cuenta a su haber el hecho de haber descubierto a Rembrandt. Se puede afirmar que Huygens creció y educó en el seno de un ambiente familiar acomodado económicamente, en el cual tuvo la suerte de relacionarse con importantes científicos y pensadores de la época. Pasó los años más fecundos de su vida en París, invitado por Luis XIV.
Trabajó con Leeuwenhoek en los diseños de los primeros microscopios y realizó algunas de las primeras observaciones de las células reproductoras humanas y propugnó la primera tesis sobre el germen como causa de las enfermedades, doscientos años antes de que ello se hiciera popular. En 1658, Huygens logró, donde Galileo había fracasado, la construcción del reloj de péndulo, dotando así a la ciencia de un verdadero cronómetro. Desde ese momento quedan en completa obsolescencia y desuso las clepsidras y relojes de arena de herencia babilónica que no habían sido posible remplazar por instrumento alguno antes del acierto del gran genio holandés.
En astronomía, perfecciona el telescopio y es el primero en medir el tamaño de otro planeta, en este caso Marte, y calcular su tiempo de rotación (24 horas); descubre los anillos de Saturno y a Titán, satélite de éste; propugna la gruesa capa de nubes que cubre a Venus, y encontró la nebulosa de Orión. También realizó estimaciones razonables sobre la distancia de algunas estrellas. Pero, además Huygens, era un firme creyente de la existencia de planetas en otras estrellas semejantes al Sol y de vida en éstos, dejando constancia de ello en un libro que escribió en 1690.
En 1678 desarrolla la teoría ondulatoria de la luz en la cual explica las características de reflexión y refracción en su célebre «Tratado de la luz» 1690. La propuesta de Huygens que describe en este trabajo, cayó en el olvido, aplastada por la imagen y prestigio de Newton.
Sir Isaac Newton
Físico
Nació : 4 de Enero 1643 en Woolsthorpe,
Lincolnshire, Inglaterra
Falleció : 31 de Marzo 1727 en Londres,
Inglaterra
Difícilmente podría decirse que el camino de Newton a la fama estaba predeterminado. Su nacimiento fue prematuro, y durante algún tiempo pareció que no sobreviviría debido a su debilidad física. Su padre murió tres meses antes de que naciera . Cuando Newton tenía dos años de edad, su madre volvió a casarse, y el niño se fue a vivir con su anciana abuela a una granja de Woolsthorpe. Fue probablemente aquí, en un distrito de Inglaterra, donde adquirió facultades de meditación y concentración que más tarde le permitieron analizar y encontrar la solución de problemas que desconcertaban a otros científicos.
Cuando Newton tenía doce años, ingresó en la Escuela del Rey, donde vivió con un boticario llamado Clark, cuya esposa era amiga de la madre de Newton. Pasó cuatro años en ese hogar, en el que se divertía construyendo toda clase de molinos de viento, carros mecánicos, relojes de agua y cometas. Encontró un desván lleno de libros científicos que le encantaba leer, y toda suerte de sustancias químicas.
Cuando tenía dieciséis años, murió su padrastro, y el muchacho volvió a casa a fin de ayudar a su madre en la administración de su pequeña propiedad, pero Newton no sentía inclinación a la vida del campo. Por fin, se decidió que continuará su carrera académica e ingresó en el Colegio de la Trinidad, de Cambridge.
Newton no se distinguió en el primer año de estudios en Cambridge. Pero por fortuna, tuvo la ayuda valiosa de Barrow, distinguido profesor de matemáticas. Barrow quedó impresionado con las aptitudes de Newton y en 1664, lo recomendó para una beca de matemáticas. Gracias a la instrucción de Barrow, tenía un excelente fundamento en la geometría y la óptica. Se familiarizó con la geometría algebraica de Descartes; conocía la óptica de Kepler, y estudió la refracción de la luz, la construcción de los telescopios y el pulimento de las lentes.
En 1664 se cerró provisionalmente la Universidad de Cambridge debido a la gran peste (bubónica), y Newton volvió a Woolsthorpe, donde paso un año y medio, durante ese tiempo hizo tres de sus grandes descubrimientos científicos. El primero fue el binomio de Newton y los elementos del cálculo diferencial, que llamaba fluxiones. Poco después dijo que "había encontrado el método inverso de las fluxiones", es decir, el cálculo integral y e método para calcular las superficies encerradas en curvas como la hipérbole, y los volúmenes y de los sólidos. Años más tarde, cuando se publicaron sus hallazgos, hubo cierta duda acerca de si el matemático alemán Leibnitz era considerado el creador del cálculo diferencial. Al parecer ambos, independiente y casi simultáneamente, hicieron este notable descubrimiento.
Su segundo gran descubrimiento se relacionó con la Teoría de la Gravitación.
El tercer gran esfuerzo, correspondió a la esfera de la óptica y la refracción de la luz.
A la edad de treinta años fue elegido miembro de la Sociedad Real de Londres, que era el más alto honor para un científico. Para corresponder a este honor, obsequió a la Sociedad el primer telescopio reflector que manufacturó.
Newton decidió consagrarse a la ciencia y volvió a Cambridge en 1667 para aceptar una plaza pensionada que no tardaría en convertirse en la de profesor de matemáticas. Durante los siguientes veinte años, Newton llevó la vida de profesor en Cambridge.
En 1664 Halley un joven astrónomo visitó a Newton, el cual instó a Newton a publicar sus descubrimientos, esto hizo que Newton en los siguientes dos años, escribiera lo que resultó ser "Principios matemáticos de la filosofía natural", escritos en Latín, ricos en detalles, con pruebas basadas con exactitud en la geometría clásica, y sorprendentemente raros en sus conclusiones filosóficas, matemáticas y científicas, los Principia contenían tres libros :
El primero reunía las tres leyes del movimiento de Newton.
El segundo trataba del movimiento de los cuerpos en medios resistentes, como los gases y los líquidos.
El tercer libro se ocupaba de la fuerza de la gravitación en la Naturaleza y el Universo.
Poco después de la publicación de esta gran obra en 1689, Newton fue elegido miembro del parlamento por Cambridge. Cuando se le nombró director de la casa de moneda de Inglaterra en 1701, renunció a su cátedra en Cambridge. En 1703 fue nombrado presidente de la Sociedad Real de Londres, cargo que ocupó durante el resto de su vida. En 1705 le concedió nobleza la Reina Ana, y fue el primer científico que recibió este honor por sus obras.
El famoso poeta Alejandro Pope dijo refiriéndose a Newton :
"La Naturaleza y las leyes naturales se ocultaban en la noche; Dios dijo "Que nazca Newton" y se hizo la luz".
André Marie Ampère
Físico y Matemático
Nacido el 20 de enero de 1775, en Lyon,
Francia,
Fallecido el 10 de junio de 1836, en Marsella,
Francia.
André Marie Ampère puede ser considerado como un ejemplar prodigio de la humanidad. Ya a los doce años, había alcanzado a dominar toda la matemática que se había logrado desarrollar hasta esa época en que tenía esa edad. En el año 1801, o sea, a la edad de 26 años, fue nombrado profesor de física y química en el Instituto de Bourg, y en 1809, profesor de matemáticas en la Escuela Politécnica de París.
En sus trabajos experimentales Ampère no era precisamente metódico, pero intuitivamente lograba destellos de gran brillantez. Uno de los más renombrado de sus deslumbrones por la historia de las ciencias, es aquel que se encuentra relacionado con el descubrimiento que realizó el docto físico danés Hans Christian Oersted en el año 1820, cuando éste hizo el hallazgo de que la aguja magnética se desvía cuando se encuentra en una posición cercana a un cable conductor de corriente, fenómeno que establece la relación que existe entre la electricidad y el magnetismo. Ampère, al tomar conocimiento del descubrimiento de Oersted, elaboró en unas pocas semanas un completo trabajo matemático donde expone una completa teoría sobre el fenómeno que hemos mencionado. En él, formula una ley sobre el electromagnetismo (comúnmente llamada ley de Ampère) en la cual se describe matemáticamente la fuerza magnética interactuando entre dos corrientes eléctricas.
Ampère, también es reconocido por sus dotes de matemático, filósofo y poeta; sin embargo, su vida íntima personal ofrece el ejemplo de un singular contraste entre una carrera jalonada por éxitos científicos y un destino poco grato. Su padre Jean-Jacques, notario público y juez de paz, murió ejecutado bajo la guillotina de la Revolución Francesa; su esposa falleció en la flor de su juventud debido a una implacable enfermedad, su segundo matrimonio resultó casi un infierno y una constante fuente de amargura. Tandem felix (por fin feliz) dice la lápida de este atormentado genio espíritu universal.
André Marie Ampère, fue el fundador de la rama de la física que reconocemos como electrodinámica y el primero en usar el vocablo corriente para identificar a la electricidad y nos lega los medios para medirla: el ampere y el ammeter. Su muerte, acontece en la ciudad francesa de Marsella en 1836, dejando inconcluso su último libro "Ensayo sobre la Filosofía de las Ciencias".
Albert Einstein
Físico
1879 – 1955
El físico alemán-americano Albert Einstein, nacido en Ulm, Alemania, Marzo 14, 1879, muerto en Princeton, N.J., Abril 18, 1955, contribuyó más que cualquier otro científico a la visión de la realidad física del siglo 20. Al comienzo de la Primera Guerra Mundial, las teorías de Einstein --sobre todo su teoría de la Relatividad-- le pareció a muchas personas, apuntaban a una calidad pura de pensamiento para el ser humano. Raramente un científico recibe tal atención del público pero Einstein la recibió por haber cultivado la fruta de aprendizaje puro.
VIDA TEMPRANA.
Los padres de Einstein, quienes eran Judíos no vigilados, se mudaron de Ulm a Munich cuando Einstein era un infante. El negocio familiar era una fábrica de aparatos eléctricos; cuando el negocio quebró (1894), la familia se mudó a Milán, Italia. A este tiempo Einstein decidió oficialmente abandonar su ciudadanía alemana. Dentro de un año todavía sin haber completado la escuela secundaria, Einstein falló un examen que lo habría dejado seguir un curso de estudios y recibir un diploma como un ingeniero eléctrico en el Instituto suizo Federal de Tecnología (el Politécnico de Zurich). El se pasó el año próximo en Aarau cercana a la escuela secundaria de cantonal, donde disfrutó de maestros excelentes y adelantos de primera índole en física. Einstein volvió en 1896 al Politécnico de Zurich , donde se graduó (1900) como maestro escolar de secundaria en matemáticas y física.
Después de dos cortos años obtuvo un puesto en la oficina suiza de patentes en Bern. La oficina de patentes requirió la atención cuidadosa de Einstein, pero mientras allí estaba empleado (1902-09), completó un rango asombroso de publicaciones en física teórica. La mayor parte de estos textos fueron escritos en su tiempo libre y sin el beneficio de cierto contacto con la literatura científica. Einstein sometió uno de sus trabajos científicos a la Universidad de Zurich para obtener un Ph.D en 1905. En 1908 le envió un segundo trabajo a la Universidad de Bern y llegó a ser docente exclusivo, o conferencista. El año próximo Einstein recibió un nombramiento como profesor asociado de física en la Universidad de Zurich.
Por 1909 Einstein fue reconocido por la Europa de habla alemana como el principal pensador científico. Rápidamente obtuvo propuestas como profesor en la Universidad alemana de Prague y en el Politécnico de Zurich. En 1914 adelantó al puesto más prestigioso y de mejor paga que un físico teórico podría tener en la Europa céntrica: profesor en el Kaiser-Wilhelm Gesellschaft en Berlín. Aunque Einstein asistió a una entrevista en la Universidad de Berlín, en este tiempo él nunca enseñó cursos regulares universitarios. Einstein quedó en el cuerpo de profesor de Berlín hasta 1933, de este tiempo hasta su muerte (1955) tuvo una posición de investigación en el Instituto para Estudios Avanzados en Princeton, N.J.
TRABAJOS CIENTIFICOS.
Los Papeles de 1905.
En los primeros de tres papeles seminales publicados en 1905, Einstein examinó el fenómeno descubierto por Max Planck, de que la energía electromagnética parecía ser emitida por objetos radiantes en cantidades que fueron decisivamente discretas. Las energía de estas cantidades --la llamada luz-quanta-- estaba directamente proporcional a la frecuencia de la radiación. Esta circunstancia estaba perpleja porque la teoría clásica del electromagnetismo, basada en las ecuaciones de Maxwell y las leyes de la termodinámica, había asumido en forma hipotética que la energía electromagnética consistía de ondas propagadas, todo-compenetrar medianamente llamada la luminiferous ether, y que las ondas podrían contener cualquier cantidad de energía sin importar cuan pequeñas. Einstein uso la hipótesis del quántum de Planck para describir la radiación visible electromagnética, o luz. Según el punto de vista heurístico de Einstein, se puede imaginar que la luz consta de bultos discretos de radiación. Einstein usó esta interpretación para explicar el efecto fotoeléctrico, por que ciertamente los metales emiten electrones cuando son iluminados por la luz con una frecuencia dada. La teoría de Einstein, y su elaboración subsecuente, formó mucho de base para lo que hoy es la Mecánica Cuántica.
El segundo de los papeles de 1905 de Einstein propuso lo qué hoy se llama la teoría especial de la relatividad. Al tiempo que Einstein supo que de acuerdo con la teoría de los electrones de Hendrik Antoon Lorentz, la masa de un electrón se incrementa cuando la velocidad del electrón se acerca a la velocidad de la luz. Einstein se dio cuenta de que las ecuaciones que describen el movimiento de un electrón de hecho podrían describir el movimiento no acelerado de cualquier partícula o cualquier cuerpo rígido definido. Basó su nueva kinemática a una nueva reinterpretación del principio clásico de la relatividad --que las leyes de la física tenían que tener la misma forma en cualquier marco de referencia. Como una segunda hipótesis fundamental, Einstein asumió que la rapidez de la luz queda constante en todos los marcos de referencia, como lo formula la teoría clásica Maxweliana. Einstein abandonó la hipótesis del Eter, porque no jugó ningún papel en su kinemática o en su reinterpretación de la teoría de electrones de Lorentz. Como una consecuencia de su teoría Einstein recobró el fenómeno de la dilatación del tiempo, en que el tiempo, análogo a la longitud y masa, es una función de la velocidad y de un marco de referencia . Más tarde en 1905, Einstein elaboró cómo, en una manera de hablar, masa y energía son equivalentes. Einstein no fue el primero proponer a todo los elementos que están en la teoría especial de relatividad; su contribución queda en haber unificado partes importantes de mecánica clásicas y electrodinámica de Maxwell.
Los terceros de los papeles seminales de Einstein de 1905 concerniente a la estadística mecánica, un campo de estudio elaborado, entre otros por, Ludwig Boltzmann y Josiah Willard Gibbs. Sin premeditación de las contribuciones de Gibb, Einstein extendió el trabajo de Boltzmann y calculó la trayectoria media de una partícula microscópica por colisiones al azar con moléculas en un fluido o en un gas. Einstein observó que sus cálculos podrían explicar el Movimiento Browniano, el aparente movimiento errático del polen en fluidos, que habían notado el botánico británico Robert Brown. El papel de Einstein proveyó evidencia convincente por la existencia física del tamaño-átomo moléculas, que ya habían recibido discusión muy teórica. Sus resultados fueron independientemente descubiertos por el físico polaco Marian von Smoluchowski y más tarde elaborados por el físico francés Jean Perrin.
La Teoría General de la Relatividad.
Después de 1905, Einstein continuo trabajando en un total de tres de las áreas precedentes. Hizo contribuciones importantes a la teoría del quántum, pero en aumento buscó extender la teoría especial de la relatividad al fenómeno que envuelve la aceleración. La clave a una elaboración emergió en 1907 con el principio de equivalencia, en la cual la aceleración gravitacional fue priori indistinguible de la aceleración causada por las fuerzas mecánicas; la masa gravitacional fue por tanto idéntica a la masa inercial. Einstein elevó esta identidad, que está implícita en el trabajo de Isaac Newton, a un principio que intenta explicar tanto electromagnetismo como aceleración gravitacional según un conjunto de leyes físicas. En 1907 propuso que si la masa era equivalente a la energía, entonces el principio de equivalencia requería que esa masa gravitacional actuara recíprocamente con la masa de la radiación electromagnética, la cual incluye a la luz. Para 1911 Einstein podía hacer predicciones preliminares acerca de cómo un rayo de luz de una estrella distante, pasando cerca al Sol, parecía ser atraída, con inclinación ligera, en la dirección de la masa de la Sol. Al mismo tiempo, luz radiada del Sol actuaría recíprocamente con la masa del mismo, da por resultado un ligero cambio hacia el fin del infrarrojo del espectro óptico del Sol. A esta juntura Einstein también supo que cualquier teoría nueva de gravitación tendría que considerarse por un pequeño pero persistente anomalía en el movimiento del perihelio del Mercurio planetario.
Aproximadamente por 1912, Einstein empezó una nueva fase de su investigación gravitacional, con la ayuda de su amigo matemático Marcel Grossmann, por adaptación de su trabajo en cuanto al cálculo del tensor de Tullio Levi-Civita y Gregorio Ricci-Curbastro. El cálculo del tensor grandemente facilitó cálculos en el cuatro-dimensión- espacio-tiempo, una noción que Einstein había obtenido de la elaboración matemática de Hermann Minkowski en 1907 de la teoría propia especial de Einstein de relatividad. Einstein llamó a su nuevo trabajo la teoría general de la relatividad. Después de varias salidas falsas publicó (tarde 1915) la forma definitiva de la teoría general. En él las ecuaciones del campo de la gravitacional eran covariantes; esto es, similar a las ecuaciones de Maxwell, el campo de ecuaciones tomo la misma forma en todos los marcos de equivalencia. Por su ventaja del principio, el campo de ecuaciones covariante le permitió observar el movimiento del perihelio del planeta Mercurio. En esta forma original, la relatividad general de Einstein se ha verificado numerosas veces en los pasados 60 años.
Su vida de los últimos años.
Cuando las observaciones británicas del eclipse de 1919 confirmaron sus predicciones, Einstein fue agasajado por la prensa popular. Los éticos personales de Einstein también despidieron imaginación pública. Einstein, quien después de volver a Alemania en 1914 no volvió a solicitar ciudadanía alemana, estaba con sólo un manojo de profesores alemanes quienes lo situaron como un pacifista por no apoyar la dirección de la guerra Alemana. Después de la guerra cuando los aliados victoriosos buscaron excluir a científicos alemanes de reuniones internacionales, Einstein--un Judío de viaje con un pasaporte suizo-- quedó como un enviado alemán aceptable. Las vistas políticas de Einstein como un pacifista y un Sionista lo deshuesó contra conservadores en Alemania, quienes lo marcaron como un traidor y una derrotista. El éxito público que otorgó sus teorías de relatividad evocaron ataques salvajes en los 1920s por los físicos antisemitas Johannes Severo y Philipp Lenard, hombres quienes después de 1932 trataron de crear un Ariano llamado físicos en Alemania. Sólo como una polémica quedó la teoría de la relatividad de Einstein para los físicos menos flexibles en el marco de la entrega del premio Novel para Einstein --se le otorgó no por la relatividad sino por el trabajo de 1905 sobre el efecto fotoeléctrico.
Con el levantamiento de fascismo en Alemania, Einstein se mudó (1933) a los Estados Unidos abandonando su pacifismo. El completamente estuvo de acuerdo que la nueva amenaza tenía que ser reprimida por la fuerza armada. En este contexto Einstein envió (1939) una carta al presidente Franklin D. Roosevelt que instó que los Estados Unidos debían proceder a desarrollar una bomba atómica antes de que Alemania tomase la delantera. La carta, escrita por un amigo de Einstein Leo Szikard, fue uno de los muchos intermediarios entre la Casa Blanca y Einstein, y contribuyó con la decisión de Roosevelt de consolidar lo qué llegó a ser el Proyecto Manhattan.
Para el público Einstein parecía un campeón de las clases no populares, tal como su objeción (1950) en el Comité de la Casa en Actividades y sus esfuerzos hacia el desarme nuclear, sus preocupaciones se centraban siempre alrededor de la física. A la edad de 59, cuando otros físicos teóricos anhelarían el retiro, él seguía su original investigación científica, Einstein y sus co-trabajadores Leopold Infeld y Banesh Hoffmann alcanzaron un mayor resultado para la teoría general de la relatividad.
Pocos físicos siguieron el camino de Einstein después de 1920. Mecánica Cuántica, en lugar de relatividad general, centró su atención. Por su parte Einstein nunca podría aceptar la mecánica cuántica con su principio de indeterminancia, como lo formula Werner Heisenberg y elaborado dentro de uno nuevo por Niels Bohr. Aunque los pensamientos tardíos de Einstein fueron abandonados por décadas, los físicos hoy en día se refieren seriamente al sueño de Einstein--una gran unificación de la teoría física.
George Simon Ohm
Físico
1787 - 1854
Nació el 16 de marzo de 1787 en Erlangen, Bavaria. Fue el mayor de los siete hijos de una familia de clase media baja. Trabajó en la cerrajería junto a su padre. Cursó estudios en la universidad de la ciudad. Dirigió el Instituto Politécnico de Nuremberg de 1833 a 1849 y desde 1852 hasta su fallecimiento dio clases de física experimental en la Universidad de Munich. Su formulación de la relación entre intensidad de corriente, diferencia de potencial y resistencia constituye la ley de Ohm.
La unidad de resistencia eléctrica se denominó ohmio en su honor. Intuye que, así como el flujo de calor depende de la diferencia de temperatura entre los dos puntos y de la capacidad del conductor para transportar el calor, el flujo de electricidad debe depender de una diferencia de potencial (voltaje, en términos actuales) y de la capacidad de conducir energía eléctrica por parte del material. Poninedo a prueba su intuición en experimentos, Ohm llega a cuantificar la resistencia eléctrica. Sufrió durante mucho tiempo la reticencia de los medios científicos europeos. La Real Sociedad de Londres lo premió con la medalla Copely en 1841 y la Universidad de Munich le otorgó la cátedra de Profesor de Física en 1849. En 1840 estudió las perturbaciones sonoras en el campo de la acústica fisiológica (ley de Ohm-Helmholtz). A partir de 1852 centró su actividad en los estudios de carácter óptico en especial en los fenómenos de interferencia. Ohm publicó varios libros de temas físicos. Falleció el 6 de julio de 1854 en Munich.
James Prescott Joule
Físico
1818 - 1889
El hombre a quien debemos la expresión familiar i²R de la potencia disipada en un conductor es el físico ingles James Prescott Joule, quien público el resultado como ley de Joule en 1841. Participo también en el famoso descubrimiento de la conservación de la energía.
Joule nació en Salford, Inglaterra, segundo entre cinco hijos de un prospero cervecero. Aprendió por si mismo electricidad y magnetismo en su casa durante la adolescencia y obtuvo educación forma en la cercana Universidad de Manchester.
Llevo a cabo sus experimentos sobre calor en su laboratorio domestico, y para asegurar la exactitud de sus mediciones se vio forzado a desarrollar su propio sistema de unidades. Su fama fue principalmente por haber hecho mas que cualquier otra persona para establecer la idea de que el calor es una forma de energía. Durante la mayor parte de su vida Joule fue un científico aficionado aislado, pero en sus últimos años se reconoció su trabajo en doctorados honorarios de Dublín y Oxford. En su honor la unidad de energía se llama Joule.
Tomas Alva Edison
Inventor
1847 - 1931
Pocas veces nos es dado presenciar el espectáculo de una vida consagrada por entero al bienestar de sus semejantes, con una voluntad, pasión y capacidad de trabajo tan sostenidas, que asombren y sirvan de ejemplo permanente a todos los niños y jóvenes del mundo.
Tal es el caso de Tomás Alva Edison, otro obrero de la inteligencia, que patentó mil noventa y nueve inventos en el término de su vida.
No fueron fáciles sus comienzos, ya que tuvo que luchar intensamente con la pobreza y la incomprensión de los que le rodeaban.
Nacido en Milán, Estado de Ohio, el 11 de febrero de 1847, su espíritu curioso e investigador se revela desde la infancia, a través de las múltiples preguntas que dirigía a sus padres, maestros y amigos. Su vocación por los experimentos se manifiesta a los seis años de manera muy original: observó cómo una gansa empollaba, e intentando hacer lo mismo, fue sorprendido en el gallinero de su casa sentado sobre un montón de huevos.
Había organizado un humilde laboratorio químico y obtenía dinero para comprar el material de ensayo, vendiendo hortalizas de la casa; pero, como las entradas eran muy reducidas, obtuvo permiso de sus padres para vender diarios y caramelos en los trenes de la línea Detroit-Port Huron. Así logró montar una pequeña imprenta en un vagón de equipajes que nunca se utilizaba y fundó su propio periódico, el Weekly Herald, logrando una tirada de ochocientos ejemplares.
Su labor periodística fue muy breve porque a raíz de un accidente causado por una botella con materia fosfórica, se incendió el vagón y Edison fue arrojado junto con la máquina de imprimir, tipos y elementos químicos.
No se desanimó por aquel amargo trance sino que se lanzó de lleno a su carrera de grandes inventos, experimentando con la telegrafía y la electricidad, desde un puesto de telegrafista que había obtenido.
Era lector incansable. Con sus pequeños ahorros compraba libros para saciar su avidez de conocimientos y, encontrándose en Detroit, intentó leer una biblioteca completa, comenzando por los libros del estante más alto, yendo de izquierda a derecha, leyéndolos según el orden en que estaban situados.
Obtuvo la independencia económica mediante sus primeros inventos y abrió en Newark una fábrica para producir receptores telegráficos. Descubrió el medio de trasmitir simultáneamente dos mensajes por el mismo alambre, pero en direcciones opuestas, para hacerlo luego en el mismo sentido.
Y llega el momento de la cristalización de su gran sueño: la luz eléctrica incandescente. Después de múltiples experiencias inventó las lámparas eléctricas y en vísperas del año 1879, demostró la distribución de la luz, el calor y la fuerza motriz, desde una usina central.
Esa maravillosa carrera de inventos produjo dos notables frutos: el fonógrafo, "la máquina que habla", y el cinematógrafo. Para lograr el primero, Edison creó máquina tras máquina, destruyendo cincuenta, gastándose alrededor de dos millones de dólares, antes de ver culminada la empresa. Para el segundo, Edison se preguntó "por qué con innumerables fotografías no podían producirse largas series de imágenes movibles". La cuestión era cómo obtener la cámara fotográfica apropiada y tomar esas imágenes, así como la clase especial de película.
Y dio nacimiento al séptimo arte, con el kinetoscopio, predecesor de la máquina cinematográfica actual; y hasta llegó a augurar la producción de películas sonoras, que hoy constituyen verdaderas demostraciones de técnica y belleza.
Esta es, a grandes rasgos, la dimensión de una vida convertida totalmente al supremo apostolado de la ciencia universal, en actitud de profundo renunciamiento.
¿Qué otra cosa fue la vida de Tomás Alva Edison sino un generoso renunciamiento de sí mismo, en favor de la humanidad, ya que pudo interrumpir su trabajo para entregarse al descanso y a la dorada luz de la celebridad?
Prefirió continuar sin tregua, llevado por su irresistible vocación, descansando a veces, quebrantado por el esfuerzo, sobre un catre que tenía en su enorme laboratorio de Orange, Nueva Jersey, para que tú y yo, querido niño, por obra de sus prodigiosos inventos, viviéramos más cómodos y felices.
Edison murió en el año 1931.
Heinrich Rudolf Hertz
Físico
1857 - 1894
De origen alemán, nació en Hamburgo el 22 de febrero de 1857.
Hizo originalmente estudios de ingeniería pero al final prosiguió con la física. Tuvo relación con dos grandes científicos: Herman Helmholtz, de quien fue gran amigo y Gustav Kirchoff.
Colaboró para la Universidad de Kiel en 1883 y por entonces comenzó a estudiar las ecuaciones de Maxwell respecto a la teoría electromagnética. En 1885 lo nombraron catedrático de física en la Escuela Superior Técnica de Karlsruhe y más tarde, en 1889 se ocupó de la cátedra de Clausius en Bonn.
Por 1883, la Academia de Ciencias de Berlín hizo una convocatoria orientada a que se presentaran estudios sobre el campo magnético; a instancias de Helmholtz, Hertz comenzó a hacer algunos experimentos al respecto.
Construyó un circuito eléctrico que, de acuerdo a las ecuaciones de Maxwell podía producir ondas magnéticas. Cada oscilación produciría únicamente una onda, por lo que la radiación generada constaría de una longitud de onda grande.
Para establecer la presencia de la mencionada radiación, Hertz fabricó un dispositivo conformado de dos espiras entre las cuales existía un pequeño espacio de aire; Hertz se dio cuenta de que al pasar corriente por la primera espira, se originaba corriente en la segunda.
La explicación que dio a este fenómeno fue que la transmisión de ondas electromagnéticas se generaba a través del espacio existente entre las dos espiras. Por medio de un detector, Hertz determinó la longitud de onda que era de 66 centímetros o 2.2 pies y su velocidad.
También el científico demostró que la naturaleza de estas ondas y la susceptibilidad hacia la reflexión y la refracción era igual que la de las ondas de luz.
Cuando Hertz trabajaba como profesor de física en la Universidad de Bonn se dedicó al estudio de los rayos catódicos y logró determinar su carácter ondulatorio; además demostró que el calor proporciona una forma de radiación electromagnética.
Escribió una sola obra llamada "Gesammelte Werke" que consta de tres tomos, el primero incluye algunos trabajos y la conferencia dictada en Heidelberg en la Asamblea de los naturistas: "Sobre las ondas eléctricas"; el tomo dos es "Trabajos Varios" y el tomo tres es "Principios de mecánica".
Siendo muy joven, de treinta y siete años, Hertz murió en Bonn el 1 de enero de 1894, dejando inconclusos varios de sus proyectos.
Su obra fue publicada en Leipzig en el mismo año de su muerte, posteriormente a ella.
Robert Andrews Millikan
Físico
1868-1953
Físico estadounidense, conocido por su trabajo en física atómica. Millikan nació en Morrison (Illinois) y estudió en las universidades de Columbia, Berlín y Gotinga. Se incorporó al cuerpo docente de la Universidad de Chicago en 1896, y en 1910 fue profesor de física. Abandonó la universidad en 1921 al convertirse en director del laboratorio Norman Bridge de física en el Instituto de Tecnología de California. En 1923 le fue concedido el Premio Nobel de Física por los experimentos que le permitieron medir la carga de un electrón, comprobando que la carga eléctrica solamente existe como múltiplo de esa carga elemental. Otras aportaciones de Millikan a la ciencia son una importante investigación de los rayos cósmicos (como él los denominó) y los rayos X, y la determinación experimental de la constante de Planck. Escribió estudios técnicos y diversos libros sobre la relación entre la ciencia y la religión.