Los números naturales son los números que usamos para contar; uno, dos, tres, cuatro, etc. Les damos un nombre, "Números naturales" para distinguirlos de otros números, como "un medio", "cuatro tercios", "tres punto siete", "menos cinco"; es decir, de los números fraccionarios (1/2), los números con punto decimal (3.7) y los números negativos (-5).
El hombre primitivo solo necesitó algunos cuantos números, los cuales represento mediante marcas en huesos o madera, como se ve en la figura, en la que se muestra un hueso encontrado en china.
Esta representación de los números, con una marca por cada elemento, solo es práctica para cantidades muy pequeñas, pero no sirve para números como 5,000, o incluso números no tan grandes, como 82 o 76. Al irse desarrollando la humanidad se hizo necesario una mejor forma de representar a los números.
Una de las primeras ideas utilizadas para representar los números de manera mas breve fue la agrupación, en la cual un símbolo representa un grupo de números. Por ejemplo, los antiguos egipcios agrupaban los números de 10 en 10.
Las formas de escritura de los números en los sistemas numéricos egipcio y romano no eran adecuadas para números relativamente grandes (como 1999, 123 422) ni para los cálculos aritméticos. Fueron necesarios otros sistemas numéricos que utilizaran menos símbolos.
Por ejemplo, varios pueblos de la antigua Babilonia (Irak) utilizaron un sistema numérico con solo dos símbolos: una cuña que apunta hacia abajo y una cuña que apunta hacia la izquierda. En este sistema la cuña hacia la izquierda representaba una hacia abajo.
La forma de estructurar los números era muy parecida a la de los egipcios. Sin embargo, a partir del numero 60, se utilizaba un principio posicional (como en nuestro sistema décima); es decir, un mismo símbolo podía tener un valor distinto dependiendo de la posición que ocupe. En el sistema babilónico, un numero en cada posición representaba 60 veces su valor en la posición anterior (por eso se llama sistema sexagesimal).
Una desventaja de este sistema era no contar con un símbolo para el cero. Estro podía traer ciertas confusiones.
El sistema numérico maya fue uno de los primeros en utilizar al mismo tiempo el principio posicional y el cero.
En este sistema 1 kin (sol) representa un día, 20 kines forman un huinal. Como 20 huinales representan 400 días, lo cual es mucho mayor que la duración exacta del año (este sistema fue utilizado para cálculos astronómicos), los mayas llamaron tun a 18 huinales, o 360 días. Excepto por este nivel, el resto del sistema es vigesimal.
Para representar un numero se utilizan tres símbolos: el punto (.), una barra (--) y el cero, donde cada línea representa 5 puntos. Algunos números mayas son:
A partir del numero 20, se usa un principio posicional, escribiendo los números en forma vertical, de modo que el numero inferior representan los kines, la siguiente posición hacia arriba representan los huinales, y así sucesivamente.
El sistema numérico maya fue uno de los primeros en utilizar al mismo tiempo el principio posicional y el cero.
En este sistema 1 kin (sol) representa un día, 20 kines forman un huinal. Como 20 huinales representan 400 días, lo cual es mucho mayor que la duración exacta del año (este sistema fue utilizado para cálculos astronómicos), los mayas llamaron tun a 18 huinales, o 360 días. Excepto por este nivel, el resto del sistema es vigesimal.
Para representar un numero se utilizan tres símbolos: el punto (.), una barra (--) y el cero, donde cada línea representa 5 puntos. Algunos números mayas son:
A partir del numero 20, se usa un principio posicional, escribiendo los números en forma vertical, de modo que el numero inferior representan los kines, la siguiente posición hacia arriba representan los huinales, y así sucesivamente.
¿Que son los Números Naturales?
Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.
Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:
N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.
Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…
Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.
Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.
La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.
La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto
Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…
Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.
Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.
La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.
La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto
Propiedades de la adición de Nùmeros Naturales:
La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.
1.- Asociativa:
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a + b) + c = a + (b + c)
Por ejemplo:
(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16
7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16
Los resultados coinciden, es decir,
(7 + 4) + 5 = 7 + (4 + 5)
2.-Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a + b = b + a
En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:
7 + 4 = 4 + 7
Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.
3.- Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a + 0 = a
Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales:
La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributivo del producto respecto de la suma.
1.-Asociativa :
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
Por ejemplo:
(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30
3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30
Los resultados coinciden, es decir,
(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)
2.- Conmutativa:
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a · b = b · a
Por ejemplo:
5 · 8 = 8 · 5 = 40
3.-Elemento neutro :
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a · 1 = a
4.- Distributiva del producto respecto de la suma :
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
a · (b + c) = a · b + a · c
Por ejemplo:
5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55
5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55
Los resultados coinciden, es decir,
5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8
Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.
Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.
Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).
Propiedades de la resta:
La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)
Propiedades de la División de Números Naturales
La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un número de personas.
Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).
Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.
Propiedades de la división
La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.
Los Números Enteros:
a) Números Enteros Positivos:
El número 8 es un entero positivo, puedo representarlo como 8 o como +8El número 24 es un entero positivo, puedo representarlo como 24 o como +24Los números 11, +32, +7, 35 son todos enteros positivos (no es necesario anteponer +).
b) Números Enteros Negativos:
Los enteros negativos representan una cantidad en contra o algo que no tenemos y necesariamente debemos anteponerle el signo -.
El número -8 es un entero negativo. El número -24 es un entero negativo.Los números -11, -32, -7, -35 son todos enteros negativos y por ello llevaran necesariamente el signo -.
c) Valor Absoluto:
Para hallar el valor absoluto de -33: -33 = 33
Para hallar el valor absoluto de +15: +15 = 15
Comparación de Números Enteros:
Para comparar números enteros debemos tener en cuenta que:
a) Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.
Por ejemplo: 4 es mayor que -1, ya que 4 es un entero positivo y -1 es un entero negativo. +3 es mayor que -18, ya que +3 es un entero positivo y -18 es un entero negativo.
b) Entre números positivos será mayor el que represente mayor cantidad.Por ejemplo: +5 es mayor que +3, ya que 5 representa mayor cantidad que 3.16 es mayor que 8, ya que 16 representa mayor cantidad que 8.+13 es mayor que +12, ya que 13 representa mayor cantidad que 12.
c) Entre números negativos será mayor el que represente menor cantidad.Por ejemplo: -2 es mayor que -5, ya que 2 representa menor cantidad que 5.-11 es mayor que -13, ya que 11 representa menor cantidad que 13
Adición y Sustracción de Números Enteros:
Tendremos dos posibilidades, las cuales son:
a) Si tenemos números de igual signo:
Cuando tengamos dos o más números de igual signo, lo que tendremos que hacer es sumar las cantidades y al resultado anteponerle el mismo signo.
Observemos el siguiente caso: 35 +46 +11
35 +46 +11 En esta operación tenemos tres números positivos: +35, +46 y +11
35 +46 +11 Entonces lo que debemos hacer es sumar los tres números, nos dará: 92
+92 = 92 El resultado también será positivo.
Otro ejemplo podría ser: -12 -28 -21
-12 -28 -21 En esta operación tenemos tres números negativos: -12, -28 y -21
-12 -28 -21 Entonces lo que debemos hacer es sumar los tres números, nos dará: 61
-61 El resultado también será negativo, necesariamente le antepondremos -.
b) Si tenemos números de signos diferentes:
Si tenemos números de diferentes signos, restamos el número mayor menos el número menor y el resultado llevara el signo del número mayor.
Veamos: 35 -46
35 -46 En esta operación tenemos un número positivo y otro negativo.
35 -46 El mayor es 46 y el menor 35, entonces: 46 - 35 = 11
-11 Como el número mayor es 46, y este es negativo, el resultado será también negativo.
Otro ejemplo: -12 +28
-12 +28 En esta operación tenemos un número negativo y otro positivo.
-12 +28 El mayor es 28 y el menor 12, entonces: 28 -12 = 16
+16 = 16 Como el número mayor es 28, y este es positivo, el resultado será también positivo
Multiplicación de Números Enteros
Cuando tengamos que multiplicar dos o más números enteros, lo primero que debemos hacer es proceder a multiplicar los números sin importarnos el signo que estos tengan. Una vez que hemos hallado el resultado, recién colocaremos el signo que corresponda de acuerdo a la siguiente Ley de Signos:
(+) x (+) = (+) El resultado de multiplicar dos números positivos es un número positivo
(+) x (-) = (-) El resultado de multiplicar un número positivo por otro negativo es un número negativo
(-) x (+) = (-) El resultado de multiplicar un número negativo por otro positivo es un número negativo
(-) x (-) = (+) El resultado de multiplicar dos números negativos es un número positivo
Por ejemplo, queremos multiplicar -20 x 5
-20 x 5 Recordemos que cuando un número no lleva signo, es positivo.
-20 x + 5 En esta operación 20 es un número negativo y 5 es un número positivo.
20 x 5 = 100 Nos olvidamos momentáneamente de los signos y hacemos 20 x 5 = 100
-20 x 5 = -100 Como tenemos un número negativo y otro positivo, el resultado será número negativo
Debemos emplear el mismo procedimiento para cualquier caso de multiplicación de números enteros o con signo que se nos presente.
Potenciación y radicación
Un error frecuente que se comete al trabajar con potencias de números es no tener en cuenta el uso de los paréntesis. Por ejemplo, no es lo mismo (-3) 2 que -32.
En efecto, en (-3)2, el exponente 2 afecta al signo y al número; es decir:
(-3)2=(-3)·(-3)=9
En cambio, en -32, el exponente 2 sólo está afectando al número 3; es decir:
-32 = -(3·3) = 9
La potenciación NO es distributiva respecto a la suma ni a la resta; es decir:
(a+b-c)m = am + bm - cm
En los ejercicios donde aparecen combinadas la suma. la resta. la multiplicación, la división, la potenciación y la radicación se procede así:
Si hay signos de agrupación se desarrollan las operaciones contenidas en los signos de agrupación más internos; es decir, trabajando de adentro hacia afuera.
Si no hay signos de agrupación o estos ya fueron eliminados, se desarrollan primero las operaciones de potenciación y radicación, luego los de multiplicación y división y, finalmente, las de suma y resta. En cada caso tiene preferencia la operación situada mas a la izquierda.
Números Racionales:
Llamamos números racionales al conjunto formado por todos los números enteros y todos los fraccionarios se los designan por Q y se lo denomina conjunto de los números racionales
Número racional es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1.
Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q.
Así como en el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada dos números racionales existen infinitos números.
Q= {m/n, m Z, n Z, n =0}
Los números racionales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse y el resultado es un número racional.
Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico.
Si la fracción es irreducible y en la descomposición factorial del denominador sólo se encuentran los factores 2 y 5, entonces la fracción es igual a un número decimal exacto, pero si en el denominador hay algún factor distinto de 2 o 5 la expresión decimal es periódica.
Comparación:
Toda fracción positiva es mayor que cualquier fracción negativa. Si las fracciones tienen igual denominador será mayor aquella cuyo numerador sea mayor. Si tienen distinto denominador se comparan las fracciones equivalentes a las dadas con igual denominador.
Suma y Resta de Números Racionales
La suma de dos números racionales es otro número racional. Cumple las siguientes propiedades:
Toda fracción positiva es mayor que cualquier fracción negativa. Si las fracciones tienen igual denominador será mayor aquella cuyo numerador sea mayor. Si tienen distinto denominador se comparan las fracciones equivalentes a las dadas con igual denominador.
Suma y Resta de Números Racionales
La suma de dos números racionales es otro número racional. Cumple las siguientes propiedades:
Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c)
Conmutativa:
a + b = b + a
Elemento neutro:
El cero es un número racional que hace de elemento neutro en la suma,
a + 0 = a
Elemento opuesto:
El opuesto de un número racional a, es otro número racional –a,
a + (-a) = 0
Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
Conmutativa:
a · b = b · a
Elemento neutro:
El 1 es un número racional que hace de elemento neutro del producto,
a · 1 = a
Elemento inverso:
El inverso de un número racional a ≠ 0 es otro número racional
que multiplicado por a da 1:
Distributiva respecto a la suma:
a · (b + c) = a · b + a · c
COCIENTE
El cociente de dos números fraccionarios es igual al producto entre el dividendo y el inverso del divisor.
Ejemplo:
-2/5 : 4/3 = -2/5 * ¾ = -6/20 = -3/10
Simplificación:
Simplificar una fracción es sustituirla por la fracción equivalente cuyo denominador es el menor posible.
Racionalización de Denominadores:
En los dos ejemplos anteriores se ha multiplicado un denominador del tipo por otro radical del mismo índice, , y tal que el producto de sus bases am, ap, sea una potencia de an. En consecuencia, ha habido que multiplicar el numerador por la misma expresión.
En los dos ejemplos anteriores se ha utilizado la identidad (a + b)(a – b) = a2 – b2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador multiplicándolo por la expresión correspondiente que, por tanto, también ha multiplicado al numerador.
Expresión Decimal de los Números Racionales:
Si queremos escribir un número fraccionario en forma decimal, bastará con dividir el numerador por el denominador.
Ejemplo:
7/2 = 3.5
Es mucho mas sencillo decir simplemente √2, que decir todo el número decimal, es más, es más exacto y preciso decir √2 que decir todo el número decimal (finalmente este decimal no será más que una aproximación).
Podemos sumar y restar números irracionales solamente cuando el radical que tengamos sea el mismo en los términos que me dispongo a sumar y restar. Lo explicaremos mejor mediante ejemplos:
Ejemplo1:3√2 +5√2 - √2 En este caso se me pide realizar una operación combinada de suma y resta3√2 +5√2 - √2 Podremos sumar y restar ya que todos los términos tienen √2
Ejemplo2:3√3 +5√2 - √5 Acá también se me pide realizar una operación combinada de suma y resta
3√3 +5√2 - √5 Sin embargo no será posible porque los tres radicales son diferentes.
Pero, ¿cómo puedo realizar estas operaciones?
Volvamos al Ejemplo 1:
3√2 +5√2 - √2 Ya sabemos que podremos sumarlo y restarlo sin ningún problema.3√2 +5√2 - 1√2 Debemos saber que cuando tengamos el radical solo siempre habrá un "1"
3√2 +5√2 - 1√2 Para resolver este ejercicio bastara con sumar los números fuera de los radicales.
3√2 +5√2 - 1√2 Tendré que resolver 3 + 5 - 1 = 7 y la parte radical no cambiara.
3√2 +5√2 - 1√2 = 7√2
Veamos ahora otro ejemplo:
4√7 -2√7 + √7 Como todos los términos tienen √7 podré sumar y/o restar sin problema4√7 -2√7 + 1√7 Hemos añadido un "1" donde no había numero con el radical.4√7 -2√7 + 1√7 = 3√7
Existe una propiedad de los números irracionales, y en general de los radicales, que nos dice: n√a.b = n√a n√b (y viceversa)
Esto significa que si tengo dos números multiplicándose dentro de una raíz, puedo extraer la raíz de cada uno de ellos y luego multiplicarlos; o también que si tengo dos raíces de igual grado multiplicándose puedo multiplicar los números y obtener la raíz después.
Ejemplo 1:
√9.4 = √9. √4 = 3. 2 = 6=> Primero tenia dentro de la raíz cuadrada 9x4, entonces saque raíz cuadrada a cada uno de los números para finalmente multiplicarlos.
Ejemplo 1:
√12.3 = √12. √3 = √36 = 6=> En este caso no me convenía hacer lo del ejemplo anterior, por eso multiplique 12x3 primero y luego saque la raíz cuadrada a este resultado.
La propiedad nos dice que: n√a ÷ n√b = n√a÷b (y viceversa)
Entonces, si tenemos raíces de grado n que se estén dividiendo, dará lo mismo si las resolvemos por separado y después las dividimos, que si primero las dividimos y luego extraemos la raíz.
Ejemplo1:3√27 ÷ 3√8 = 3 ÷ 2 = 1,5=> Primero hemos extraído las dos raíces cúbicas para luego dividir los resultados.
Ejemplo 2:
3√64 ÷ 3√8 = 3√64÷8 = 3√8 = 2=> Ahora hemos resuelto primero la división de las cantidades subradicales y dejamos al ultimo la raíz cúbica.
Potenciación de Irracionales:
Lo único que debemos hacer es pasar el grado del radical a dividir al exponente. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1:
3√66 = 66/3 = 62 = 36=> Como vemos el grado del radical (en este caso 3) paso a dividir al exponente (en este caso 6). El resultado de esta división (para nosotros 6÷3 = 2) será el nuevo exponente para la cantidad subradical (en este caso 6). Finalmente hemos realizado la potenciación
Ejemplo 2:
(√4)6 = 46/2 = 43 = 64
=> En este caso hemos hecho lo mismo que en el caso anterior, haciendo la aclaración de que cuando un radical no tiene grado, este es 2.
En algunos casos parece que no se puede resolver una operación de suma y/o resta entre números irracionales, en estos casos dependerá de nosotros darle la forma correcta ala ejercicio.
Por ejemplo, tenemos: 3√2 + √50 - √98
Aparentemente no lo podemos resolver, todos los radicales son diferentes, pero nosotros podremos utilizar las propiedades de la multiplicación para darle la forma que nos ayude a resolverlo.
√50 la podemos escribir como √25.2 porque 25. 2 = 50.Resolveremos la parte que tiene raíz cuadrada exacta, es decir, √25 = 5La parte que no tiene raíz cuadrada exacta la dejamos igual: √2Finalmente nos quedara que: √50 = √25.2 = √25 √2 = 5√2
Lo mismo hacemos para √98:
√98 = √49.2 = √49 √2 = 7√2
Reemplazamos los valores obtenidos:
3√2 + √50 - √98
3√2 + 5√2 - 7√2
3√2 + 5√2 - 7√2 = 1√2
El número "1" que nos queda podemos colocarlo o no según nuestra conveniencia.
¿Qué son las fracciones?
Se llaman así a todos los números que representen una cantidad inexacta, por lo general vienen de una división inexacta. Por ejemplo:
8 ÷ 5 El resultado de esta división será inexacto (cociente 1 y residuo 3)
8 ÷ 5 = 8 5 El resultado de esta división inexacta lo podemos representar como un número fraccionario
Ahora, este número fraccionario, 8/5 o simplemente fracción tendrá sus partes definidas: 8 ~> es el numerador 5 ~> es el denominador
Además cabe resaltar que la raya o división central representa el operador matemático de división.
Números Mixtos:
8 ÷ 5 El resultado de esta división será inexacto (cociente 1 y residuo 3)
En el caso ideal de comparación se tienen fracciones de igual denominador, entonces la de mayor numerador será la mayor. Por ejemplo:
4/7 y 5/7 la mayor de ellas es 5 porque tiene igual denominador pero mayor numerador.7
Pero por lo general nos encontraremos con fracciones de diferentes denominadores, entonces tendremos que hacer un par de multiplicaciones para determinar cual es mayor, cual es menor, o si son iguales:
3/5 y 4/6
En este caso nosotros debemos determinar cual de estas fracciones
representa mayor cantidad.
3/5 y 4/6 Multiplicaremos en forma cruzada los numeradores con los
denominadores. Así tendremos: 3 x 6 = 18 y 5 x 4 = 20
representa mayor cantidad.
3/5 y 4/6 Multiplicaremos en forma cruzada los numeradores con los
denominadores. Así tendremos: 3 x 6 = 18 y 5 x 4 = 20
Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones mentalmente.
Veamos: Sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar podemos seguir la siguiente regla:
a/b + c/d = ad + bc (se multiplica cruzado y los productos de suman) (se multiplican los denominadores) . La expresión queda sobre bd
Veamos un ejemplo:
A María le tocaba una tercera parte de la herencia de su padre. Su madre le cedió a ella dos quintas partes adicionales que le tocaban a ella. ¿En total qué parte de la herencia la tocó a Maria?
Solución
1/3 + 2/5 = 1(5) + 3(2) =
A María le tocaba una tercera parte de la herencia de su padre. Su madre le cedió a ella dos quintas partes adicionales que le tocaban a ella. ¿En total qué parte de la herencia la tocó a Maria?
Solución
1/3 + 2/5 = 1(5) + 3(2) =
5/15 + 6/15 toda esta expresion sobre 15
= 11/15
A María le tocó 11/ 15 de la herencia de su padre.
Suma de Fracciones:
Para sumar dos fracciones, hay que tener en cuenta de que existen 2 tipos de fracciones:
1. Fracciones homogéneas: 4/6 , 5/6 , 7/6 .
2.-Fracciones heterogéneas 4/5 , 7/4 , 8/3
Las fracciones homogéneas son las fracciones que tienen el mismo denominador; y las fracciones heterogéneas son las fracciones que tienen diferentes denominadores.
Para sumar fracciones heterogéneas:
1.- Se multiplican los denominadores.
2.-Se multiplica cruzado y se coloca en el numerador.
3.- Se suman los productos para obtener el numerador.
4.- Resta de Fracciones
En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones; pero en este caso hay que restar.
En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones; pero en este caso hay que restar.
Cuando tengamos que multiplicar dos o más números fraccionarios, simplemente debemos multiplicar todos los numeradores y todos los denominadores.
Si por ejemplo tenemos: 2/5 x 3/4 x 5/3 tendremos que multiplicar: 2 x 3 x 5 = 30
y 5 x 4 x 3 = 60
Claro que aun podríamos simplificar:30 = 1 (hemos dividido, tanto al numerador como al denominador entre 30/60 = 2
Claro que aun podríamos simplificar:30 = 1 (hemos dividido, tanto al numerador como al denominador entre 30/60 = 2
Cuando tengamos que dividir números fraccionarios en realidad lo que se nos pide es hacer una multiplicación cruzada.
Por ejemplo:
a) 3/4 : 6/5 = 3x5 sobre 4 x 6 lo que queda: 15/24
En este caso el radical afectara tanto al numerador como al denominador. Por ejemplo:
3
√8 =
3
√8 = 2
